Topologinen data-analyysi on matematiikan ala, jonka pyrkimyksenä on ymmärtää datan muotoa. Yksi topologisen data-analyysin päämenetelmistä on persistentti homologia. Siinä datasta muodostetaan topologisten avaruuksien suodatus käymällä läpi kaikki mahdolliset mittakaavat. Kun tähän suodatukseen sovelletaan homologia-funktoria, saadaan niin sanottu persistenssimoduli, joka on topologisen data-analyysin perusobjekti. Kun mittakaavat tulevat lineaarijärjestetystä joukosta, persistenssimodulin rakenne on hyvin ymmärretty. Silloin se voidaan esittää viivakoodin avulla, josta on nähtävissä kaikkien datan topologisten ominaisuuksien syntymä- ja kuolemahetket – ja siten myös ”elinikä”.
– Topologisessa data-analyysissä niitä datan ominaisuuksia, joiden elinikä on lyhyt, pidetään kohinan seurauksena ja siten vähemmän merkittävinä. Niin sanotut lyhytkestoiset ominaisuudet, eli ne, joiden elinikä on nolla, ovat ääriesimerkkejä tästä ilmiöstä. Väitöskirjani pyrkimys on ymmärtää, mitä tapahtuu, kun datasta poistetaan kohina (eli lyhytkestoiset ominaisuudet) persistenssimodulien tasolla, Manu Harsu toteaa.
Väitöskirjassaan Harsu käyttää hyväksi sekä lyhde- että alueteoriaa. Lyhdeteorian hyödyntämisen topologisessa data-analyysissä aloitti Justin Curry uraauurtavassa väitöskirjassaan. Asiantuntijat ovat tietoisia siitä, että persistenssimodulit vastaavat Alexandrovin topologialla varustetun osittain järjestetyn joukon päälle määriteltyjä lyhteitä. Alexandrovin topologian ohella Harsu hyödyntää osittain järjestetyn joukon Scottin topologiaa, joka on perusteellisesti tutkittu alueteorian näkökulmasta.
– Väitöskirjani pääteemoja on Alexandrovin ja Scottin topologioilla varustetun jatkuvan osittain järjestetyn joukon päälle määritellyt lyhteet ja niiden vuorovaikutus. Osoitin esimerkiksi, että lyhytkestoisiin moduleihin liittyvä tekijäkategoria (eli intuitiivisesti ”persistenssimodulit ilman lyhytkestoisuutta”) vastaa Scottin lyhteitä. Scottin lyhteet vastaavat myös ala- että yläpuolijatkuvia moduleita, joita on tutkittu muillakin matematiikan aloilla, Harsu kertoo.
Väitöstilaisuus perjantaina 30. toukokuuta
Filosofian maisteri Manu Harsun matematiikan alaan kuuluva väitöskirja Ephemeral Modules and Scott Sheaves in Persistence tarkastetaan julkisesti Tampereen yliopiston informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunnassa perjantaina 30.5.2025 kello 12 Hervannan kampuksella, Festian Pienessä salissa (Korkeakoulunkatu 8, Tampere). Vastaväittäjänä toimii professori Ulrich Bauer Münchenin teknillisestä yliopistosta. Kustoksena toimii professori Eero Hyry Tampereen yliopiston informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunnasta.
Tutustu väitöskirjaan.
Seuraa väitöstilaisuutta etäyhteydellä.