Analyysin peruskurssi, 5 op

Ydinsisältö

• Joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti. Analyysissä tarvittavan logiikan ja todistamisen esittelyä.
• Funktion määrittely. Funktion monotonisuus ja käänteisfunktio, yhdistetty funktio.
• Alkeisfunktioiden perusominaisuuksia. Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot.
• Kompleksilukujen summa, erotus, tulo ja osamäärä, liittoluku ja itseisarvo. Siirtyminen koordinaattimuodon a+bi ja napakoordinaatti- eli eksponenttimuodon välillä (Eulerin kaava), laskeminen eksponenttimuotoa käyttäen. Kompleksiluvun juurten haku.
• Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, toispuoleiset raja-arvot ja epäoleelliset raja-arvot, l'Hopitalin sääntö.
• Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona, tulon ja osamäärän derivointi, yhdistetyn funktion derivointi (eli ketjusääntö) ja alkeisfunktioiden derivointi. Funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen selvittäminen derivaatan avulla.
• Integraalilaskennan perusteet.

Täydentävä tietämys

• Alkukuva, injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys.
• Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat ja tekijöihinjako.
• Jatkuvien funktioiden väliarvolause ja käänteisfunktion jatkuvuus.
• Käänteisfunktion derivaatta.
• Sovelluksia, mm. lineaarinen approksimaatio, usean muuttujan funktion derivaatta, gradientti.

Erityistietämys

• Differentiaalilaskennan väliarvolause.