Avoin yliopisto

<p>Löydät hakuohjeet ja linkin hakupalveluun <a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/avoimet-korkeakouluopinnot/avoin-yliopisto/nain-haet-avoimen-yliopiston-opintoihin">Näin haet avoimen yliopiston opintoihin</a> –sivulta.</p>

<p>Osassa opinnoista vaaditaan edeltäviä opintoja. Esimerkiksi aineopinnoissa voidaan vaatia, että on suorittanut ensin perusopintoja. Opintojaksokohtaisista vaatimuksista kerrotaan aina koulutuksen sivulla Koulutuksen kuvaus -välilehdellä, kohdassa Esitietovaatimukset.</p>

<p>Kun sinut on hyväksytty opintoihin, on sinun ilmoittauduttava opetukseen ja mahdolliseen harjoitusryhmään Sisu-järjestelmässä. Saat tästä tarkemmat ohjeet sähköpostiisi sen jälkeen, kun olet maksanut opintomaksun.</p>


Tampere

Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus

<h2>Osaamistavoitteet</h2><p>Opintokokonaisuuden suoritettuaan opiskelija tuntee matematiikan eri <br>osa-alueita ja osaa hahmottaa niiden välisiä yhteyksiä. Lisäksi hän <br>tuntee aksiomaattisen lähestymistavan ja hänellä on kyky hahmottaa <br>abstrakteja struktuureja. Opiskelija osaa johtaa ja todistaa luennoilla <br>esitettyjä tuloksia sekä soveltaa määritelmiä ja lauseita matemaattisten<br> ongelmien ratkaisussa. Opiskelija osaa myös esittää laatimansa <br>ratkaisut.</p><h2>Lisätiedot</h2><p>Matematiikka opetettavana aineena 60 op muodostuu kahdesta kokonaisuudesta: <br></p><p><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/matematiikan-perusopintoja-avoin-yliopisto-opetus#switcher-trigger-koulutuksen-kuvaus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Matematiikan perusopinnot 25 op </a><br></p><p><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/matematiikan-aineopintoja-avoin-yliopisto-opetus#switcher-trigger-koulutuksen-kuvaus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Matematiikan aineopinnot 35 op </a><br></p><p>Linkkien kautta voit tutustua perus- ja aineopintojen  opintokokonaisuuksien rakenteisiin, opintojaksojen toteutuksien opetusaikoihin ja hakuaikoihin.</p><p>Opintoihin hakeutuminen opintojaksoittain.</p>

<p>Lisätietoja avoimen yliopiston tarjonnasta voi kysyä Tampereen yliopiston opintotoimistosta.</p><p>Meidät tavoittaa sähköpostitse <span class="spamspan"><span class="u">avoin.tau</span> [at] <span class="d">tuni.fi</span></span><br>Puhelimitse 0294 520 200</p><p>Lisätietoa avoimessa opiskelusta verkkosivuillamme<br><a href="https://www.tuni.fi/avoinyliopisto">tuni.fi/avoinyliopisto</a></p>

Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta

Tekniikka ja luonnontieteet

suomi

Keskustakampus

<p>Tutustu maksuehtoihin <a href="https://tuni.fi/maksuehdot-avoinyliopisto">Näin haet avoimen yliopiston opintoihin</a> -verkkosivulla.</p>

<p>Lyhyesti: logiikkaa, joukot, funktiot, relaatiot, induktio ja rekursio, kombinatoriikkaa, modulaariaritmetiikkaa, permutaatio- ja symmetriaryhmät </p><p>Tarkemmin:  </p><p>1. Joukko-oppi, logiikka ja looginen päättely: Joukko-opin ja logiikan peruskäsitteet ja operaatiot, indeksöidyt yhdisteet ja leikkaukset, todistamista sekä looginen päättelyjärjestelmä.   </p><p>2. Relaatiot ja funktiot, ekvivalenssirelaatio, bijektio, joukkojen mahtavuus.  </p><p>3. Kombinatoriikka: peruskäsitteet, summa-, tulo- ja kyyhkyslakkaperiaate.   </p><p>4. Modulaariaritmetiikka: kongruessin käsite ja modulaariyhtälön ratkaiseminen.  </p><p>5. Ryhmät ja permutaatiot: permutaatiot transpositioiden tulona ja permutaation etumerkki, permutaatio- ja symmetriaryhmät, permutaatioryhmien manipulointi. </p>

<p>Kurssin suoritettuaan opiskelija  <br>- ymmärtää matemaattisen todistamisen idean ja tarpeellisuuden ja osaa hyödyntää päättelyjärjestelmää päättelyssä.  <br>- tuntee joukko-opin alkeet sekä funktioiden ja relaatioiden perusominaisuudet  <br>- on omaksunut keskeiset matemaattiset merkinnät  <br>- hallitsee kombinatoriikan perusteet, kokonaislukujen perusominaisuudet ja modulaariaritmetiikan  <br>- osaa manipuloida permutaatioryhmiä  </p>

englanti

<p>Kenneth Rosen: Discrete mathematics and applications</p><p>Richard Hammack: Book of Proof</p><p>Oscar Levin: Discrete Mathematics</p><p>James Hein: Discrete Mathematics.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Pakollinen esitieto: lukion pitkän matematiikan sisältö. Opintojaksoa ei suositella ensimmäiseksi matematiikan opintojaksoksi yliopistotasolla. Suositeltavaa on opiskella ainakin joko Johdatus yliopistomatematiikkaan tai Analyysin peruskurssi ennen tätä opintojaksoa. </p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Johdatus yliopistomatematiikkaan, MATH.APP.010, 5op</li></ul>

<p>Toteutusten osallistujille jaetaan sähköinen oppimateriaali toteutuksen Moodle-sivun kautta. Toteutusten ulkopuolisille itseopiskelijoille vastaava oppimateriaali on jaossa Digicampuksessa sivulla <a href="https://digicampus.fi/course/view.php?id=3588" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://digicampus.fi/course/view.php?id&amp;#61;3588</a>.</p>

<ul><li>Analyyttinen geometria peruskoulun ja lukion opetussuunnitelmassa</li><li>Euklidinen taso, kulma</li><li>Suorat ja tasot</li><li>Kartioleikkaukset, niiden keskipisteet ja akselit</li><li>Eri tavat määritellä kartioleikkaus</li><li>Tangentit ja normaalit</li><li>Napa ja napasuora, inversio ympyrän suhteen.</li></ul><p><br></p>

<p>Kurssilla tutustutaan analyyttiseen geometriaan algebrallisesta näkökulmasta.  Kurssin suoritettuaan opiskelija tuntee eri tavat määritellä kartioleikkaukset ja niiden yhteyden toisiinsa. Erityisesti hän hallitsee määrittelyn polttopisteen ja johtosuoran avulla. Hän ymmärtää, miten suora leikkaa kartioleikkausta, ja osaa määrittää kartioleikkaukselle tangentteja. Hän on perillä napapisteistä ja napasuorista. Hän osaa havainnollistaa analyyttistä geometriaa GeoGebra-ohjelman avulla. Hän pystyy peilaamaan oppimaansa suhteessa lukion analyyttisen geometrian oppiainekseen.  Opiskelija osaa määritellä kurssilla esiintyvät käsitteet täsmällisesti ja tuntee kurssilla käsitellyt konstruktiot. Hän pystyy ratkaisemaan  käsiteltyihin asioihin liittyviä laskutehtäviä sekä kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.</p>

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li></ul>

<p>Oheislukemistoksi suositellaan teoksia:</p><p>Gibson, Christopher G. Elementary Euclidean Geometry an Introduction . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003.<br></p><p>Stachel, Glaeser. Universe of Conics: From the Ancient Greeks to 21st Century Developments. Springer, 2016<br></p><p>Henn, Filler. Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra: Algebraisch verstehen – Geometrisch veranschaulichen und anwenden. 2015th ed. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.<br></p>

<p>Differentioituvuus, derivaatta lineaarikuvauksena; </p><p>Osittaisderivaatat, gradientti ja tämän geometrinen merkitys; </p><p>Korkeammat osittaisderivaatat, derivoimisjärjestyksen vaihto; </p><p>Käänteiskuvauslause; </p><p>Implisiittifunktiolause; </p><p>Riemann-integraali porrasfunktioiden avulla; </p><p>Iteroitu integraali; </p><p>Käyräintegraali. </p>

<p>Kurssin  suoritettuaan opiskelijalla on täsmälliset perustiedot usean muuttujan  analyysistä ja pystyy hyödyntämään näitä myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija  osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan  yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy verifioimaan keskeisimpien  tulosten todistukset. Erityisesti  hän ymmärtää derivaatan lineaarikuvauksena. Hän tuntee käänteiskuvaus-  ja implisiittifunktiolauseen sekä osaa soveltaa niitä. Hän on perillä  moniulotteisesta Riemann-integroinnista ja tuntee käyräintegraalin. Opiskelija  pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan  matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti. </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Yksiulotteinen differentiaali- ja integraalilaskenta, avaruuden R^n topologia, usean muuttujan funktion jatkuvuus, lineaarialgebran perusteet.<br></p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li><li>Euklidiset avaruudet, MATH.MA.620, 5op</li></ul>

<p>Heikki Orelma: Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta (luentomoniste, tenttimateriaali)</p><p>Tom M. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd ed, Pearson, 1974<br></p><p>Patrick M. Fitzpatrick, Advanced Calculus,  Pure and Applied Undergraduate Texts, Volume 5 American Mathematical Society, Providence RI, 2009<br></p>

<p>Induktiotodistukset: 1. ja 2. induktioperiaate, rekursiiviset määritelmät.</p><p>Todistuksia joukko-opin peruskäsitteille.</p><p>Relaatioiden ominaisuudet ja sulkeumat, kuvaukset.</p><p>Jaollisuus ja alkuluvut, Aritmetiikan peruslause.</p><p>Kongruenssi ja kongruenssiluokat.</p><p>Fermat’n pieni lause.</p>

<p>Opintojakson jälkeen opiskelija ymmärtää ja osaa soveltaa relaatioihin ja funktioihin liittyviä käsitteitä ja osaa johtaa ja todistaa niitä koskevia tuloksia. Opiskelija osaa ratkaista myös sellaisia diskreetin matematiikan ongelmia, jotka eivät suoraan muistuta annettuja esimerkkejä. Opiskelija osaa analysoida ja vertailla kirjallisuudessa esitettyjä relaatioita ja funktioita koskevia vaativahkojakin perustason todistuksia.</p>Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelija osaa todistaa alkeellisen lukuteorian perustuloksia ja kykenee hyödyntämään niitä konkreettisissa esimerkeissä. Hän pystyy laskemaan permutaatiolla. Opintojakson aikana opiskelija saa valmiudet abstraktin algebran opiskeluun.

<h2>Esitiedot</h2><p>Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, permutaatiot, logiikan alkeet</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa </p><p>Merikoski-Virtanen-Koivisto: Diskreetti matematiikka</p><p>Lauritzen, N.: Concrete abstract algebra ja Rotman, J.: First course in abstract algebra.</p>

<ul><li>Euklidisen avaruuden sisätulo ja normi, Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälö, kolmioepäyhtälö </li><li>Euklidisen avaruuden topologiaa: avoimet ja suljetut joukot, reuna, sulkeuma, kasaantumispiste<br></li><li>Kuvauksen raja-arvot ja jatkuvuus<br></li><li>Jonon suppeneminen<br></li><li>Cauchyn ehto ja täydellisyys<br></li><li>Kompaktisuus, Heinen ja Borelin lause<br></li><li>Jatkuvat kuvaukset ja kompaktisuus<br></li><li>Polut, polkuyhtenäisyys, alue<br></li><li>Yleiset metriset avaruudet ja normiavaruudet <br></li></ul>

<p>Suoritettuaan opintojakson opiskelija tuntee euklidisen avaruuden topologian ja metriikan peruskäsitteet ja -tulokset. Opiskelija osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla perustuloksia. Opiskelija pystyy todentamaan keskeisimpien tulosten todistukset. Opiskelija osaa soveltaa käsitteitä ja tuloksia myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.</p>

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Matemaattinen analyysi, MAT-60200, 5op</li></ul>

<ul><li>Fitzpatrick, P. <i>Advanced Calculus: Second Edition</i>. American Mathematical Society, 2009. </li><li>Carothers, N. <i>Real Analysis, Part 1 &amp;#34;Metric Spaces&amp;#34;</i>. Cambridge University Press, 2000.<br></li><li>Väisälä, J. <i>Topologia I</i>. 4. korj. p. Limes ry, 2007.<br></li><li>Purmonen, V. T. <i>Differentiaali- ja integraalilaskentaa: usean reaalimuuttujan funktioille</i>. 1 osa. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001.<br></li><li>Purmonen, V. T. <i>Euklidiset avaruudet</i>. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001. <br></li></ul>

<h5>Ydinsisältö</h5><ul><li>Joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti. Analyysissä tarvittavan logiikan ja todistamisen esittelyä.</li><li>Funktion määrittely. Funktion monotonisuus ja käänteisfunktio, yhdistetty funktio.</li><li>Alkeisfunktioiden perusominaisuuksia. Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot.</li><li>Kompleksilukujen summa, erotus, tulo ja osamäärä, liittoluku ja itseisarvo. Siirtyminen koordinaattimuodon a&amp;#43;bi ja napakoordinaatti- eli eksponenttimuodon välillä (Eulerin kaava), laskeminen eksponenttimuotoa käyttäen. Kompleksiluvun juurten haku.</li><li>Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, toispuoleiset raja-arvot ja epäoleelliset raja-arvot, l&amp;#39;Hopitalin sääntö.</li><li>Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona, tulon ja osamäärän derivointi, yhdistetyn funktion derivointi (eli ketjusääntö) ja alkeisfunktioiden derivointi. Funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen selvittäminen derivaatan avulla.</li><li>Integraalilaskennan perusteet.</li></ul><h5>Täydentävä tietämys</h5><ul><li>Alkukuva, injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys. </li><li>Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat ja tekijöihinjako.</li><li>Jatkuvien funktioiden väliarvolause ja käänteisfunktion jatkuvuus.</li><li>Käänteisfunktion derivaatta.</li><li>Sovelluksia, mm. lineaarinen approksimaatio, usean muuttujan funktion derivaatta, gradientti.</li></ul><h5>Erityistietämys</h5><ul><li>Differentiaalilaskennan väliarvolause.</li></ul>

<p>Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa tulkita ja kirjoittaa reaalilukujen osajoukkoja yhdistettä, leikkausta, erotusta ja komplementtia käyttäen. Opiskelija osaa hahmotella alkeisfunktioiden ja niistä koostettujen yksinkertaisten funktioiden kuvaajia, määrittää niille raja-arvoja, laskea derivaattoja ja tehdä derivaatan avulla johtopäätöksiä funktion kulusta ja ääriarvoista ja tutkia funktion käyttäytymistä raja-arvoja laskemalla. Opiskelija osaa ilmaista kompleksiluvun koordinaatti- ja eksponenttimuodossa, laskea peruslaskutoimituksia molempia esityksiä käyttäen ja siirtyä näiden esitysten välillä, laskea kompleksiluvun juuret ja jakaa reaalikertoimisen polynomin tekijöihinsä. Opiskelija tuntee integraalifunktion ja määrätyn integraalin käsitteet ja osaa laskea perusintegraaleja. Opiskelija osaa esittää ratkaisunsa sekä suullisesti että kirjallisesti.</p>

<h2>Esitiedot</h2>Kurssilla oletetaan lukion pitkän matematiikan asiat tunnetuksi. Näitä asioita kerrataan, mutta ei opeteta uusina asioina. Tarvittaessa voi käydä täydentämässä esitietojaan opintojaksolla MATH.APP.010 Johdatus yliopistomatematiikkaan.<br>

<h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi: Kirja</li><li>Nimi: Calculus 6e, Early Transcendentals, Matrix Version</li><li>Tekijä: Edwards &amp;amp; Penney</li><li>Tenttimateriaali: Ei</li><li>Kieli: Englanti</li></ul><h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi: Kirja</li><li>Nimi: Linear algebra, A modern introduction (2nd ed.)</li><li>Tekijä: Poole, David</li><li>Tenttimateriaali: Ei</li><li>Kieli: Englanti</li></ul><h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi: Kirja</li><li>Nimi: Modern Engineering Mathematics (5th ed.)</li><li>Tekijä: Glyn, James<br></li><li>Tenttimateriaali: Ei</li><li>Kieli: Englanti</li></ul>

<h5>Ydinaines</h5><br><p>Lineaariset yhtälöryhmät ja näiden ratkaisu Gaussin eliminoinnilla, <br>euklidisen avaruuden vektorijoukon lineaarinen riippumattomuus, <br>euklidisen avaruuden aliavaruus, kanta <br> ja dimensio, <br>suorat ja tasot, <br>matriisit, neliömatriisin determinantti, ominaisarvot ja diagonalisointi, <br>vektorien pistetulo, ristitulo ja vektorikolmitulo.​<br> <br> Täydentävä tietämys<br> </p>Matlabin käyttö ja matriisilaskennan soveltaminen<br>

<p>Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa ratkaista lineaarisen yhtälöryhmän Gaussin menetelmällä. Hän pystyy esittämään sen vektori- ja matriisimuodossa sekä<br> analysoimaan sen ratkaisujoukkoa. Hän tuntee euklidisen avaruuden aliavaruuden, kannan ja dimension käsitteet. Erityisesti hän pystyy selvittämään, ovatko annetut vektorit​<br> lineaarisesti riippumattomia. Opiskelija hallitsee matriisien peruslaskutoimitukset, osaa laskea neliömatriisin determinantin ja käänteismatriisin. Hän pystyy​<br> myös määrittämään sen ominaisarvot. Opiskelija osaa katsoa monia geometrisia kysymyksiä vektoreiden näkökulmasta, esittää niitä vektorialgebran kielellä ja ratkoa ​<br> tehtäviä lineaarialgebran työkaluilla. Hän kykenee todistamaan matriisien ja vektoreiden perusominaisuuksia täsmällisesti vaihe vaiheelta ​perustelemalla jokaisen päättelyn kohdan. <br> Hän pystyy hyödyntämään lineaarialgebraa käytännön ongelmien mallintamiseen. Hän osaa ratkaista laskutehtäviä paitsi ​ käsin myös symbolisella ohjelmistolla.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>EDELTÄVÄT OPINNOT TAI EDELTÄVÄ OSAAMINEN</p><p>Lukiomatematiikka</p><p>  SUOSITELTAVAT VALINNAISET OPINNOT  </p><p>Ennen opintojakson suorittamista on suositeltavaa suorittaa jokin seuraavista opintojaksoista: Matematiikan peruskäsitteet tai Insinöörimatematiikan perusteet tai Yhden muuttujan funktiot opintojakso.</p>

<h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi: -</li><li>Nimi: Linear algebra, A modern introduction (2nd ed.)</li><li>Tekijä: Poole, David</li><li>Tenttimateriaali: Kyllä<br></li><li>Kieli: Englanti</li></ul><br>

<p>Yleiset vektoriavaruudet, sisätuloavaruudet, lineaarikuvaukset, matriisin ominaisarvot ja diagonalisointi sekä pääakseliprobleema. </p>

<p>Opiskelija hallitsee abstraktin lineaarialgebrallisen ajattelun perusteet. Hän osaa soveltaa matemaattista päättelyä ja aksiomaattista ajattelua niin, että hän kykenee todistamaan abstraktin lineaarialgebran perustulokset vetoamalla aksioomiin ja aikaisempiin matemaattisiin tietoihin. Hän pystyy näkemään konkreettisen lineaarialgebran yleisemmän, abstraktin lineaarialgebran erikoistapauksena. Hänellä on sellaiset abstraktin lineaarialgebran perusvalmiudet, joiden pohjalta yhtäältä hän pystyy jatkamaan matematiikan syventäviin opintoihin ja toisaalta hän kykenee omaksumaan tietyillä matematiikan ja sen lähitieteiden opintojaksoilla kehitettäviä sovelluksia.</p>

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla on luentomoniste. Oheislukemistona suositellaan mm. teoksia</p> <br><p>Anton, H., Elementary linear algebra</p> <br><p>Lay, D. C., Linear algebra and its applications</p>

<p>Graafiteorian peruskäsitteet, polut, alirakenteet, yhtenäisyys ja särmäyhtenäisyys, irrotussolmut ja lohkot, sovitukset ja kaksijakoiset graafit, tasograafit, graafien väritykset, graafien matriisiesitykset. </p>

<p>Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelija tuntee erilaiset graafityypit ja hallitsee graafien perusoperaatiot. Hän osaa määrittää annetun graafin yhtenäisyysasteen ja tehdä kaksijakoiseen graafiin sovituksen. Opiskelija osaa todistaa Eulerin kaavan ja soveltaa sitä tasograafien analysointiin. Opiskelija osaa tarkastella graafien ominaisuuksia solmu- ja särmäväritysten sekä matriisiesitysten avulla. Hän osaa todistaa graafeja koskevia tuloksia induktiolla solmujen tai särmien lukumäärien suhteen. Opiskelija tunnistaa graafeille sovelluskohteita eri tieteenaloilla. </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Joukko-opin perusteet, funktiot, matriisien laskutoimitukset, ominaisarvot ja ominaisvektorit.</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op</li><li>Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Yhden muuttujan funktiot, Osa 1, MATH.MA.120, 5op</li><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla käytetään soveltuvin osin monistetta</p> <br><p>Koivisto, Niemistö, Graafiteoriaa.</p>

<p>Tärkeimmät yksiulotteiset diskreetit ja jatkuvat jakaumat, Bernoullin prosessi, Poissonin prosessi, keskeinen rajaväittämä, muuttujien vaihto, momenttifunktio, kaksi- ja moniulotteiset jakaumat, moniulotteinen normaalijakauma, normaalijakauman muunnokset, otossuureiden jakaumat.</p>

<p>Opiskelija hallitsee tavallisimpien yksiulotteisten diskreettien ja jatkuvien todennäköisyysjakaumien perusominaisuudet ja osaa hyödyntää niitä todennäköisyyslaskentaan. Opiskelija osaa tehdä satunnaismuuttujan muunnoksia ja soveltaa momenttifunktiota jakaumien ominaisuuksien tarkasteluun. Opiskelija tuntee keskeisen rajaväittämän. Opiskelija ymmärtää moniulotteisen, erityisesti kaksiulotteisen, satunnaismuuttujan jakauman luonnehtimiseen liittyvän käsitteistön. Opiskelija tuntee muutaman keskeisen moniulotteisen jakauman ja hallitsee moniulotteisen normaalijakauman perusominaisuudet. Opiskelija hallitsee tärkeimmät normaalijakaumasta muunnoksina saatavat jakaumat.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Suositellut esitiedot tai vastaavat tiedot.</p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastolliseen päättelyyn, MATH.APP.210, 5op</li><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin ja jaettavaan materiaaliin. Oheislukemistona voi käyttää esimerkiksi  teoksia</p> <br><p>Casella, G., Berger, R. L., Statistical inference</p> <br><p>Hogg, R. V., Tanis, E. A., Probability and statistical inference</p> <br><p>Laininen, P., Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen</p> <br><p>Ross, S., A first course in probability</p> <br><p>Tuominen, P., Todennäköisyyslaskenta I</p>

Kertausta ekvivalenssirelaatiosta. Lyhyt katsaus reaalilukuihin. Kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen konstruointi lähtien luonnollisista luvuista. <br>

Opintojakson jälkeen opiskelija ymmärtää lukujoukkojen konstruktioiden perusideat ja osaa vertailla kirjallisuudessa esitettyjä erilaisia konstruktioita. Opiskelija osaa johtaa ja todistaa kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen konstruoinnissa tarvittavia aputuloksia ja osaa soveltaa niitä myös uusien ongelmien ratkaisemiseen.

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li><li>Algebra, MATH.MA.450, 5op</li></ul>

<p>Hamilton, A.G., Numbers,sets, and axioms.</p> <br><p>Enderton, Herbert B., Elements of set theory.</p>

Lauselogiikan kaavat, induktio kaavan pituuden suhteen, totuusjakaumat, totuustaulut ja totuusfunktiot, tautologiat, lauselogiikan mallit, validisuus ja looginen seuraus, lauselogiikan luonnollinen päättely, eheyslause ja täydellisyyslause luonnolliselle päättelylle, semanttiset puut.

Opintojakson suorittanut opiskelija osaa itsenäisesti tutkia, onko annettu propositiolause tautologia, tai päteekö looginen seuraus annetun lausejoukon ja lauseen välillä. Hän tuntee opintojaksolla opetetut menetelmät näiden kysymysten ratkaisemiseen, ja osaa valita menetelmistä tilanteeseen parhaiten sopivan. Hän ymmärtää sekä semanttisten puiden menetelmän, että luonnollisen päättelyn periaatteet, ja osaa todistaa eheyslauseen ja täydellisyyslauseen todistuksiin liittyvät keskeiset aputulokset.

<h2>Esitiedot</h2><p>Logiikan alkeet, joukko-opin perusteet, relaation ja funktion käsiteet, induktio</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjassa</p> <br><p>Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan.</p> <br><p>sekä monisteessa</p> <br><p>Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.</p>

<p>Predikaattilogiikan aakkosto ja kaavat, mallit ja tulkintafunktiot, Tarskin totuusmääritelmä, luonnollinen päättely predikaattilogiikassa, eheys- ja täydellisyyslauseet, relaatioalgebra.  Modaalilogiikan kaavat, Kripke-kehykset ja -mallit, validisuus malleissa ja kehyksissä, modaalisysteemit.<br></p>

<p>Opintojakson suorittanut opiskelija ymmärtää predikaattilogiikan mallin käsitteen, sekä totuusmääritelmän. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi annetussa mallissa käyttäen tulkintafunktion käsitettä. Hän osaa myös kirjoittaa itse predikaattilogiikan kaavoja, jotka ilmaisevat yksinkertaisia mallien ominaisuuksia. Opiskelija osaa tuottaa luonnollisia päättelyitä valideille predikaattilogiikan lauseille. Hän osaa myös muodostaa kyselyitä sekä predikaattilogiikan kaavoilla että relaatioalgebrassa, ja hän osaa verrata niitä keskenään.</p><p>Lisäksi hän tuntee modaalilogiikan kielen ja hallitsee Kripke-mallin ja Kripke-kehyksen käsitteet. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi/validi annetussa mallissa/kehyksessä, ja hän ymmärtää totuuden ja validisuuden käsitteiden eron. Hän tuntee myös perusmodaalisysteemien aksiomatisoinnit.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, lauselogiikka, aksioomat ja päättelysysäännöt</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Lauselogiikka, MATH.MA.510, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa</p> <br><p>Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan ja</p><p>Rantala-Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan  </p> <br><p>sekä monisteessa</p> <br><p>Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.</p>

Derivaatta, väliarvolause, porrasfunktiot, Riemann-integraali, analyysin peruslause.

Opiskelija hallitsee derivaatan määritelmän ja osaa määrittää derivaattoja sekä suoraan määritelmien avulla että eri tekniikoita käyttäen. Hän osaa johtaa ja todistaa derivoituvien funktioiden perusominaisuuksia sekä hallitsee Riemann-integraalin määritelmän ja osaa tutkia Riemann-integroituvuutta yksinkertaisissa tilanteissa. Hän osaa johtaa ja todistaa integroituvuutta koskevat perustulokset sekä tuntee integraalin ja derivaatan välisen yhteyden.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia</p> <br><p></p><p>Koivisto, P., Analyysi B</p><br><br><p>Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.</p><br><br><p>Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.</p><br><br><p>Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.</p><br><br><p>Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.</p><br><br><p></p>

Ryhmät, renkaat, kunnat, aliryhmät ja ideaalit, homomorfismit, tekijäryhmät ja tekijärenkaat, yhden muuttujan polynomit.

Opintojakson aikana opiskelijan kyky abstraktiin ajatteluun kehittyy niin, että hän hahmottaa abstraktin algebran perusstruktuurit kuten ryhmät, renkaat ja kunnat sekä kykenee tunnistamaan ne eri yhteyksissä. Hän osaa johtaa ja todistaa näitä koskevat keskeiset tulokset. Erityisesti hän osaa hyödyntää sellaisia algebran käsitteitä ja työkaluja kuten aliryhmät ja ideaalit, homomorfismit, tekijäryhmät ja tekijärenkaat sekä yhden muuttujan polynomit.

<h2>Esitiedot</h2><p>Pakollisiksi esitiedoiksi riittää matematiikan perusopinnot 25 op tai tekniikan puolen matematiikan perusopinnot väh. 25 op. Mikäli opintosuunnitelmaasi kuuluu opintojakso MATH.MA.210 Diskreetti matematiikka se tulee suorittaa ennen Algebran opintojaksoa.</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin, mutta oheislukemistona suositellaan teoksia</p> <br><p>Lauritzen, N., Concrete abstract algebra.</p> <br><p>Rotman, J., First course in abstract algebra.</p>

<p>Reaaliluvut, lukujoukon pienin yläraja ja suurin alaraja, lukujonon suppeneminen, Bolzano-Weierstrassin lause, raja-arvot ja &amp;#34;epsilon-delta&amp;#34;-tekniikka, funktion jatkuvuus, Bolzanon lause.</p>

<p>Opiskelija osaa määrittää lukujoukon pienimmän ylärajan ja suurimman alarajan yksinkertaisissa tilanteissa, osaa tutkia lukujonojen suppenemista ja perusominaisuuksia, osaa määrittää raja-arvoja ja tutkia jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia.</p><p>Opiskelija pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla määritelmiä ja perustuloksia ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.  </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>MATH.MA.110 Johdatus analyysiin tai MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi (entinen MATH.APP.110 Insinöörimatematiikan perusteet). Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelman opiskelijoilta ei vaadita esitietoja.<br></p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus analyysiin, MATH.MA.110, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia</p> <br><p></p><p>Koivisto, P., Analyysi A</p><br><br><p>Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.</p><br><br><p>Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.</p><br><br><p>Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.</p><br><br><p>Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.</p><br><br><p></p>

<p>Todennäköisyyden käsite, todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä, ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteet, kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat. Satunnaismuuttujan käsite, todennäköisyysjakauma ja kertymäfunktio, satunnaismuuttujan sijainti- ja vaihtelumittoja, diskreettejä ja jatkuvia jakaumia, Keskeinen raja-arvolause. Todennäköisyysotanta, piste-estimointi, väliestimointi, merkitsevyystestaus. </p>

<p>Opiskelija ymmärtää, mitä todennäköisyydellä tarkoitetaan ja osaa laskea todennäköisyyksiä. Opiskelija ymmärtää satunnaismuuttujan ja sen toteuman eron sekä todennäköisyysjakauman ja kertymäfunktion käsitteet ja erot jatkuvassa ja diskreetissä tilanteessa. Opiskelija hallitsee tärkeimmät todennäköisyysjakaumat ja keskeisen raja-arvolauseen. Opiskelija ymmärtää, mitä tarkoitetaan todennäköisyysotannalla, piste-estimoinnilla, väliestimoinnilla ja merkitsevyystestauksella. Opiskelija  kokee opiskellun teorian empiirisesti relevantiksi. Opiskelija osaa  soveltaa kurssilla tarkasteltuja menetelmiä tilastollisella  ohjelmistolla. </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Pakolliset esitiedot: Lukion matematiikka tai vastaava osaaminen.</p><p><br></p><p>Suositellut esitiedot  (jokin alla olevista tai vastaava osaaminen):</p><p>MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi </p><p>TAI </p><p>MATH.APP.160    Differentiaali- ja integraalilaskenta </p><p>TAI </p><p>DATA.STAT.110    Tilastotieteen johdantokurssi </p>

Epäoleellinen integraali, lukusarjat, funktiosarjat, potenssisarjat.

Opintojakson jälkeen opiskelija hallitsee epäoleellisen integraalin määrittelyn ja osaa tutkia epäoleellisen integraalin suppenemista, hallitsee sekä reaalilukusarjojen että funktiosarjojen perusmääritelmät ja -ominaisuudet sekä osaa tutkia sarjojen suppenemista ja perusominaisuuksia.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia</p> <br><p></p><p>Koivisto, P., Analyysi C</p><br><br><p>Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.</p><br><br><p>Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.</p><br><br><p>Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.</p><br><br><p>Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.</p><br><br><p></p>

Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus

Laajuus

Hinta

Kampus

Kaupunki

Tiedekunta tai osaamisyksikkö

Opetuksessa käytettävät kielet

Koodi

Koulutusala

Opintojen suorittaminen

Diskreetti matematiikka, 5 op

Analyyttinen geometria aineenopettajille, 5 op

Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, 5 op

Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, 5 op

Euklidiset avaruudet, 5 op

Analyysin peruskurssi, 5 op

Vektorit ja matriisit, 5 op

Lineaarialgebra, 5 op

Graafiteoria, 5 op

Matemaattisen tilastotieteen perusteet, 5 op

Lukualueet aineenopettajille, 5 op

Lauselogiikka, 5 op

Modaali- ja predikaattilogiikka, 5 op

Analyysi B: derivaatta ja integraali, 5 op

Algebra, 5 op

Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, 5 op

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastolliseen päättelyyn, 5 op

Analyysi C: epäoleellinen integraali ja sarjat, 5 op

Yhteystiedot

Hakumenettely

Maksuehto

Anna palautetta!

Viimeksi katsomasi koulutukset

Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus