Avoin yliopisto

<p>Löydät hakuohjeet ja linkin hakupalveluun <a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/avoimet-korkeakouluopinnot/avoin-yliopisto/nain-haet-avoimen-yliopiston-opintoihin">Näin haet avoimen yliopiston opintoihin</a> –sivulta.</p>

<p>Osassa opinnoista vaaditaan edeltäviä opintoja. Esimerkiksi aineopinnoissa voidaan vaatia, että on suorittanut ensin perusopintoja. Opintojaksokohtaisista vaatimuksista kerrotaan aina koulutuksen sivulla Koulutuksen kuvaus -välilehdellä, kohdassa Esitietovaatimukset.</p>

<p>Kun sinut on hyväksytty opintoihin, on sinun ilmoittauduttava opetukseen ja mahdolliseen harjoitusryhmään Sisu-järjestelmässä. Saat tästä tarkemmat ohjeet sähköpostiisi sen jälkeen, kun olet maksanut opintomaksun.</p>


Tampere

Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus

<h2>Osaamistavoitteet</h2><p>Opintokokonaisuuden suoritettuaan opiskelija tuntee matematiikan eri <br>osa-alueita ja osaa hahmottaa niiden v&#228;lisi&#228; yhteyksi&#228;. Lis&#228;ksi h&#228;n <br>tuntee aksiomaattisen l&#228;hestymistavan ja h&#228;nell&#228; on kyky hahmottaa <br>abstrakteja struktuureja. Opiskelija osaa johtaa ja todistaa luennoilla <br>esitettyj&#228; tuloksia sek&#228; soveltaa m&#228;&#228;ritelmi&#228; ja lauseita matemaattisten<br> ongelmien ratkaisussa. Opiskelija osaa my&#246;s esitt&#228;&#228; laatimansa <br>ratkaisut.</p><h2>Lis&#228;tiedot</h2><p>Matematiikka opetettavana aineena 60 op muodostuu kahdesta kokonaisuudesta: <br></p><p><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/matematiikan-perusopintoja-avoin-yliopisto-opetus#switcher-trigger-koulutuksen-kuvaus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Matematiikan perusopinnot 25 op </a><br></p><p><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/matematiikan-aineopintoja-avoin-yliopisto-opetus#switcher-trigger-koulutuksen-kuvaus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Matematiikan aineopinnot 35 op </a><br></p><p>Linkkien kautta voit tutustua perus- ja aineopintojen&#160; opintokokonaisuuksien rakenteisiin, opintojaksojen toteutuksien opetusaikoihin ja hakuaikoihin.</p><p>Opintoihin hakeutuminen opintojaksoittain.</p>

<p>Lisätietoja avoimen yliopiston tarjonnasta voi kysyä Tampereen yliopiston opintotoimistosta.</p><p>Meidät tavoittaa sähköpostitse <span class="spamspan"><span class="u">avoin.tau</span> [at] <span class="d">tuni.fi</span></span><br>Puhelimitse 0294 520 200</p><p>Lisätietoa avoimessa opiskelusta verkkosivuillamme<br><a href="https://www.tuni.fi/avoinyliopisto">tuni.fi/avoinyliopisto</a></p>

Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta

Tekniikka ja luonnontieteet

suomi

Keskustakampus

<p>Tutustu maksuehtoihin <a href="https://tuni.fi/maksuehdot-avoinyliopisto">Näin haet avoimen yliopiston opintoihin</a> -verkkosivulla.</p>

<p>Lyhyesti: logiikkaa, joukot, funktiot, relaatiot, induktio ja rekursio, kombinatoriikkaa, modulaariaritmetiikkaa, permutaatio- ja symmetriaryhm&#228;t </p><p>Tarkemmin: &nbsp;</p><p>1. Joukko-oppi, logiikka ja looginen p&#228;&#228;ttely: Joukko-opin ja logiikan perusk&#228;sitteet ja operaatiot, indeks&#246;idyt yhdisteet ja leikkaukset, todistamista sek&#228; looginen p&#228;&#228;ttelyj&#228;rjestelm&#228;. &nbsp; </p><p>2. Relaatiot ja funktiot, ekvivalenssirelaatio, bijektio, joukkojen mahtavuus. &nbsp;</p><p>3. Kombinatoriikka: perusk&#228;sitteet, summa-, tulo- ja kyyhkyslakkaperiaate. &nbsp; </p><p>4. Modulaariaritmetiikka: kongruessin k&#228;site ja modulaariyht&#228;l&#246;n ratkaiseminen. &nbsp;</p><p>5. Ryhm&#228;t ja permutaatiot: permutaatiot transpositioiden tulona ja permutaation etumerkki, permutaatio- ja symmetriaryhm&#228;t, permutaatioryhmien manipulointi.&#160;</p>

<p>Kurssin suoritettuaan opiskelija &nbsp;<br>- ymm&#228;rt&#228;&#228; matemaattisen todistamisen idean ja tarpeellisuuden ja osaa hy&#246;dynt&#228;&#228; p&#228;&#228;ttelyj&#228;rjestelm&#228;&#228; p&#228;&#228;ttelyss&#228;. &nbsp;<br>- tuntee joukko-opin alkeet sek&#228; funktioiden ja relaatioiden perusominaisuudet &nbsp;<br>- on omaksunut keskeiset matemaattiset merkinn&#228;t &nbsp;<br>- hallitsee kombinatoriikan perusteet, kokonaislukujen perusominaisuudet ja modulaariaritmetiikan &nbsp;<br>- osaa manipuloida permutaatioryhmi&#228;&#160;&#160;</p>

englanti

<p>Kenneth Rosen: Discrete mathematics and applications</p><p>Richard Hammack: Book of Proof</p><p>Oscar Levin: Discrete Mathematics</p><p>James Hein: Discrete Mathematics.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Pakollinen esitieto: lukion pitk&#228;n matematiikan sis&#228;lt&#246;. Opintojaksoa ei suositella ensimm&#228;iseksi matematiikan opintojaksoksi yliopistotasolla. Suositeltavaa on opiskella ainakin joko Johdatus yliopistomatematiikkaan tai Analyysin peruskurssi ennen t&#228;t&#228; opintojaksoa.&#160;</p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Johdatus yliopistomatematiikkaan, MATH.APP.010, 5op</li></ul>

<p>Toteutusten osallistujille jaetaan s&#228;hk&#246;inen oppimateriaali toteutuksen Moodle-sivun kautta. Toteutusten ulkopuolisille itseopiskelijoille vastaava oppimateriaali on jaossa Digicampuksessa sivulla&#160;<a href="https://digicampus.fi/course/view.php?id&#61;3588" target="_blank" rel="noopener noreferrer">https://digicampus.fi/course/view.php?id&amp;#61;3588</a>.</p>

<ul><li>Analyyttinen geometria peruskoulun ja lukion opetussuunnitelmassa</li><li>Euklidinen taso, kulma</li><li>Suorat ja tasot</li><li>Kartioleikkaukset, niiden keskipisteet ja akselit</li><li>Eri tavat m&#228;&#228;ritell&#228; kartioleikkaus</li><li>Tangentit ja normaalit</li><li>Napa ja napasuora, inversio ympyr&#228;n suhteen.</li></ul><p><br></p>

<p>Kurssilla tutustutaan analyyttiseen geometriaan algebrallisesta n&#228;k&#246;kulmasta. &nbsp;Kurssin suoritettuaan opiskelija tuntee eri tavat m&#228;&#228;ritell&#228; kartioleikkaukset ja niiden yhteyden toisiinsa. Erityisesti h&#228;n hallitsee m&#228;&#228;rittelyn polttopisteen ja johtosuoran avulla. H&#228;n ymm&#228;rt&#228;&#228;, miten suora leikkaa kartioleikkausta, ja osaa m&#228;&#228;ritt&#228;&#228; kartioleikkaukselle tangentteja. H&#228;n on perill&#228; napapisteist&#228; ja napasuorista. H&#228;n osaa havainnollistaa analyyttist&#228; geometriaa GeoGebra-ohjelman avulla. H&#228;n pystyy peilaamaan oppimaansa suhteessa lukion analyyttisen geometrian oppiainekseen. &nbsp;Opiskelija osaa m&#228;&#228;ritell&#228; kurssilla esiintyv&#228;t k&#228;sitteet t&#228;sm&#228;llisesti ja tuntee kurssilla k&#228;sitellyt konstruktiot. H&#228;n pystyy ratkaisemaan&#160; k&#228;siteltyihin asioihin liittyvi&#228; laskuteht&#228;vi&#228; sek&#228; kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.</p>

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li></ul>

<p>Oheislukemistoksi suositellaan teoksia:</p><p>Gibson, Christopher G. Elementary Euclidean Geometry an Introduction . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003.<br></p><p>Stachel, Glaeser. Universe of Conics: From the Ancient Greeks to 21st Century Developments. Springer, 2016<br></p><p>Henn, Filler. Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra: Algebraisch verstehen &#8211; Geometrisch veranschaulichen und anwenden. 2015th ed. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.<br></p>

<p>Differentioituvuus, derivaatta lineaarikuvauksena; </p><p>Osittaisderivaatat, gradientti ja t&#228;m&#228;n geometrinen merkitys; </p><p>Korkeammat osittaisderivaatat, derivoimisj&#228;rjestyksen vaihto; </p><p>K&#228;&#228;nteiskuvauslause; </p><p>Implisiittifunktiolause; </p><p>Riemann-integraali porrasfunktioiden avulla; </p><p>Iteroitu integraali; </p><p>K&#228;yr&#228;integraali. </p>

<p>Kurssin &nbsp;suoritettuaan opiskelijalla on t&#228;sm&#228;lliset perustiedot usean muuttujan &nbsp;analyysist&#228; ja pystyy hy&#246;dynt&#228;m&#228;&#228;n n&#228;it&#228; my&#246;hemmiss&#228; opinnoissaan. Opiskelija &nbsp;osaa m&#228;&#228;ritell&#228; perusk&#228;sitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan &nbsp;yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy verifioimaan keskeisimpien &nbsp;tulosten todistukset. Erityisesti &nbsp;h&#228;n ymm&#228;rt&#228;&#228; derivaatan lineaarikuvauksena. H&#228;n tuntee k&#228;&#228;nteiskuvaus- &nbsp;ja implisiittifunktiolauseen sek&#228; osaa soveltaa niit&#228;. H&#228;n on perill&#228; &nbsp;moniulotteisesta Riemann-integroinnista ja tuntee k&#228;yr&#228;integraalin. Opiskelija &nbsp;pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan &nbsp;matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti. </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Yksiulotteinen differentiaali- ja integraalilaskenta, avaruuden R^n topologia, usean muuttujan funktion jatkuvuus, lineaarialgebran perusteet.<br></p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li><li>Euklidiset avaruudet, MATH.MA.620, 5op</li></ul>

<p>Heikki Orelma: Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta (luentomoniste, tenttimateriaali)</p><p>Tom M. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd ed, Pearson, 1974<br></p><p>Patrick M. Fitzpatrick,&#160;Advanced Calculus,&#160; Pure and Applied Undergraduate Texts, Volume 5 American Mathematical Society, Providence RI, 2009<br></p>

<p>Induktiotodistukset: 1. ja 2. induktioperiaate, rekursiiviset m&#228;&#228;ritelm&#228;t.</p><p>Todistuksia joukko-opin perusk&#228;sitteille.</p><p>Relaatioiden ominaisuudet ja sulkeumat, kuvaukset.</p><p>Jaollisuus ja alkuluvut, Aritmetiikan peruslause.</p><p>Kongruenssi ja kongruenssiluokat.</p><p>Fermat&#8217;n pieni lause.</p>

<p>Opintojakson j&#228;lkeen opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228; ja osaa soveltaa relaatioihin ja funktioihin liittyvi&#228; k&#228;sitteit&#228; ja osaa johtaa ja todistaa niit&#228; koskevia tuloksia. Opiskelija osaa ratkaista my&#246;s sellaisia diskreetin matematiikan ongelmia, jotka eiv&#228;t suoraan muistuta annettuja esimerkkej&#228;. Opiskelija osaa analysoida ja vertailla kirjallisuudessa esitettyj&#228; relaatioita ja funktioita koskevia vaativahkojakin perustason todistuksia.</p>Opintojakson suorittamisen j&#228;lkeen opiskelija osaa todistaa alkeellisen lukuteorian perustuloksia ja kykenee hy&#246;dynt&#228;m&#228;&#228;n niit&#228; konkreettisissa esimerkeiss&#228;. H&#228;n pystyy laskemaan permutaatiolla. Opintojakson aikana opiskelija saa valmiudet abstraktin algebran opiskeluun.

<h2>Esitiedot</h2><p>Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, permutaatiot, logiikan alkeet</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa&#160;</p><p>Merikoski-Virtanen-Koivisto: Diskreetti matematiikka</p><p>Lauritzen, N.: Concrete abstract algebra ja Rotman, J.: First course in abstract algebra.</p>

<ul><li>Euklidisen avaruuden sis&#228;tulo ja normi, Cauchyn ja Schwarzin ep&#228;yht&#228;l&#246;, kolmioep&#228;yht&#228;l&#246; </li><li>Euklidisen avaruuden topologiaa: avoimet ja suljetut joukot, reuna, sulkeuma, kasaantumispiste<br></li><li>Kuvauksen raja-arvot ja jatkuvuus<br></li><li>Jonon suppeneminen<br></li><li>Cauchyn ehto ja t&#228;ydellisyys<br></li><li>Kompaktisuus, Heinen ja Borelin lause<br></li><li>Jatkuvat kuvaukset ja kompaktisuus<br></li><li>Polut, polkuyhten&#228;isyys, alue<br></li><li>Yleiset metriset avaruudet ja normiavaruudet&#160;<br></li></ul>

<p>Suoritettuaan opintojakson opiskelija tuntee euklidisen avaruuden topologian ja metriikan perusk&#228;sitteet ja -tulokset. Opiskelija osaa m&#228;&#228;ritell&#228; perusk&#228;sitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla perustuloksia. Opiskelija pystyy todentamaan keskeisimpien tulosten todistukset. Opiskelija osaa soveltaa k&#228;sitteit&#228; ja tuloksia my&#246;hemmiss&#228; opinnoissaan. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.</p>

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Matemaattinen analyysi, MAT-60200, 5op</li></ul>

<ul><li>Fitzpatrick, P. <i>Advanced Calculus: Second Edition</i>. American Mathematical Society, 2009. </li><li>Carothers, N. <i>Real Analysis, Part 1 &amp;#34;Metric Spaces&amp;#34;</i>. Cambridge University Press, 2000.<br></li><li>V&#228;is&#228;l&#228;, J. <i>Topologia I</i>. 4. korj. p. Limes ry, 2007.<br></li><li>Purmonen, V. T. <i>Differentiaali- ja integraalilaskentaa: usean reaalimuuttujan funktioille</i>. 1 osa. Jyv&#228;skyl&#228;: Jyv&#228;skyl&#228;n yliopisto, 2001.<br></li><li>Purmonen, V. T. <i>Euklidiset avaruudet</i>. Jyv&#228;skyl&#228;: Jyv&#228;skyl&#228;n yliopisto, 2001.&#160;<br></li></ul>

<h5>Ydinsis&#228;lt&#246;</h5><ul><li>Joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti. Analyysiss&#228; tarvittavan logiikan ja todistamisen esittely&#228;.</li><li>Funktion m&#228;&#228;rittely. Funktion&#160;monotonisuus ja k&#228;&#228;nteisfunktio,&#160;yhdistetty funktio.</li><li>Alkeisfunktioiden&#160;perusominaisuuksia. Hyperboliset funktiot ja niiden k&#228;&#228;nteisfunktiot.</li><li>Kompleksilukujen summa, erotus, tulo ja osam&#228;&#228;r&#228;, liittoluku ja itseisarvo. Siirtyminen koordinaattimuodon a&amp;#43;bi ja napakoordinaatti- eli eksponenttimuodon v&#228;lill&#228; (Eulerin kaava), laskeminen eksponenttimuotoa k&#228;ytt&#228;en. Kompleksiluvun juurten haku.</li><li>Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, toispuoleiset raja-arvot ja ep&#228;oleelliset raja-arvot, l&amp;#39;Hopitalin s&#228;&#228;nt&#246;.</li><li>Derivaatta erotusosam&#228;&#228;r&#228;n raja-arvona, tulon ja osam&#228;&#228;r&#228;n derivointi, yhdistetyn funktion derivointi (eli ketjus&#228;&#228;nt&#246;) ja alkeisfunktioiden derivointi. Funktion kulun tutkiminen ja &#228;&#228;riarvojen selvitt&#228;minen derivaatan avulla.</li><li>Integraalilaskennan perusteet.</li></ul><h5>T&#228;ydent&#228;v&#228; tiet&#228;mys</h5><ul><li>Alkukuva, injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys. </li><li>Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat ja tekij&#246;ihinjako.</li><li>Jatkuvien funktioiden v&#228;liarvolause ja k&#228;&#228;nteisfunktion jatkuvuus.</li><li>K&#228;&#228;nteisfunktion derivaatta.</li><li>Sovelluksia, mm. lineaarinen approksimaatio, usean muuttujan funktion derivaatta, gradientti.</li></ul><h5>Erityistiet&#228;mys</h5><ul><li>Differentiaalilaskennan v&#228;liarvolause.</li></ul>

<p>Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa tulkita ja kirjoittaa reaalilukujen osajoukkoja yhdistett&#228;, leikkausta, erotusta ja komplementtia k&#228;ytt&#228;en. Opiskelija osaa hahmotella alkeisfunktioiden ja niist&#228; koostettujen yksinkertaisten funktioiden kuvaajia, m&#228;&#228;ritt&#228;&#228; niille raja-arvoja, laskea derivaattoja ja tehd&#228; derivaatan avulla johtop&#228;&#228;t&#246;ksi&#228; funktion kulusta ja &#228;&#228;riarvoista ja tutkia funktion k&#228;ytt&#228;ytymist&#228; raja-arvoja laskemalla. Opiskelija osaa ilmaista kompleksiluvun koordinaatti- ja eksponenttimuodossa, laskea peruslaskutoimituksia molempia esityksi&#228; k&#228;ytt&#228;en ja siirty&#228; n&#228;iden esitysten v&#228;lill&#228;, laskea kompleksiluvun juuret ja jakaa reaalikertoimisen polynomin tekij&#246;ihins&#228;.&#160;Opiskelija tuntee integraalifunktion ja m&#228;&#228;r&#228;tyn integraalin k&#228;sitteet ja osaa laskea perusintegraaleja. Opiskelija osaa esitt&#228;&#228; ratkaisunsa sek&#228; suullisesti ett&#228; kirjallisesti.</p>

<h2>Esitiedot</h2>Kurssilla oletetaan lukion pitk&#228;n matematiikan asiat tunnetuksi. N&#228;it&#228; asioita kerrataan, mutta ei opeteta uusina asioina. Tarvittaessa voi k&#228;yd&#228; t&#228;ydent&#228;m&#228;ss&#228; esitietojaan opintojaksolla MATH.APP.010 Johdatus yliopistomatematiikkaan.<br>

<h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi:&#160;Kirja</li><li>Nimi:&#160;Calculus 6e, Early Transcendentals, Matrix Version</li><li>Tekij&#228;:&#160;Edwards &amp;amp; Penney</li><li>Tenttimateriaali:&#160;Ei</li><li>Kieli:&#160;Englanti</li></ul><h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi:&#160;Kirja</li><li>Nimi:&#160;Linear algebra, A modern introduction (2nd ed.)</li><li>Tekij&#228;:&#160;Poole, David</li><li>Tenttimateriaali:&#160;Ei</li><li>Kieli:&#160;Englanti</li></ul><h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi: Kirja</li><li>Nimi: Modern Engineering Mathematics (5th ed.)</li><li>Tekij&#228;: Glyn, James<br></li><li>Tenttimateriaali: Ei</li><li>Kieli: Englanti</li></ul>

<h5>Ydinaines</h5><br><p>Lineaariset yht&#228;l&#246;ryhm&#228;t ja n&#228;iden ratkaisu Gaussin eliminoinnilla, <br>euklidisen avaruuden vektorijoukon lineaarinen riippumattomuus, <br>euklidisen avaruuden aliavaruus, kanta <br> ja dimensio, <br>suorat ja tasot, <br>matriisit, neli&#246;matriisin determinantti, ominaisarvot ja diagonalisointi, <br>vektorien pistetulo, ristitulo ja vektorikolmitulo.&#8203;<br> <br> T&#228;ydent&#228;v&#228; tiet&#228;mys<br> </p>Matlabin k&#228;ytt&#246; ja matriisilaskennan soveltaminen<br>

<p>Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa ratkaista lineaarisen yht&#228;l&#246;ryhm&#228;n Gaussin menetelm&#228;ll&#228;. H&#228;n pystyy esitt&#228;m&#228;&#228;n sen vektori- ja matriisimuodossa sek&#228;<br> analysoimaan sen ratkaisujoukkoa. H&#228;n tuntee euklidisen avaruuden aliavaruuden, kannan ja dimension k&#228;sitteet. Erityisesti h&#228;n pystyy selvitt&#228;m&#228;&#228;n, ovatko annetut vektorit&#8203;<br> lineaarisesti riippumattomia. Opiskelija hallitsee matriisien peruslaskutoimitukset, osaa laskea neli&#246;matriisin determinantin ja k&#228;&#228;nteismatriisin. H&#228;n pystyy&#8203;<br> my&#246;s m&#228;&#228;ritt&#228;m&#228;&#228;n sen ominaisarvot. Opiskelija osaa katsoa monia geometrisia kysymyksi&#228; vektoreiden n&#228;k&#246;kulmasta, esitt&#228;&#228; niit&#228; vektorialgebran kielell&#228; ja ratkoa &#8203;<br> teht&#228;vi&#228; lineaarialgebran ty&#246;kaluilla. H&#228;n kykenee todistamaan matriisien ja vektoreiden perusominaisuuksia t&#228;sm&#228;llisesti vaihe vaiheelta &#8203;perustelemalla jokaisen p&#228;&#228;ttelyn kohdan. <br> H&#228;n pystyy hy&#246;dynt&#228;m&#228;&#228;n lineaarialgebraa k&#228;yt&#228;nn&#246;n ongelmien mallintamiseen. H&#228;n osaa ratkaista laskuteht&#228;vi&#228; paitsi &#8203; k&#228;sin my&#246;s symbolisella ohjelmistolla.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>EDELT&#196;V&#196;T OPINNOT TAI EDELT&#196;V&#196; OSAAMINEN</p><p>Lukiomatematiikka</p><p> &nbsp;SUOSITELTAVAT VALINNAISET OPINNOT &nbsp;</p><p>Ennen opintojakson suorittamista on suositeltavaa suorittaa jokin seuraavista opintojaksoista: Matematiikan perusk&#228;sitteet tai Insin&#246;&#246;rimatematiikan perusteet tai Yhden muuttujan funktiot opintojakso.</p>

<h5>Oppimateriaali</h5><ul><li>Tyyppi:&#160;-</li><li>Nimi:&#160;Linear algebra, A modern introduction (2nd ed.)</li><li>Tekij&#228;:&#160;Poole, David</li><li>Tenttimateriaali: Kyll&#228;<br></li><li>Kieli:&#160;Englanti</li></ul><br>

<p>Yleiset vektoriavaruudet, sis&#228;tuloavaruudet, lineaarikuvaukset, matriisin ominaisarvot ja diagonalisointi sek&#228; p&#228;&#228;akseliprobleema.&#160;</p>

<p>Opiskelija hallitsee abstraktin lineaarialgebrallisen ajattelun perusteet. H&#228;n osaa soveltaa matemaattista p&#228;&#228;ttely&#228; ja aksiomaattista ajattelua niin, ett&#228; h&#228;n kykenee todistamaan abstraktin lineaarialgebran perustulokset vetoamalla aksioomiin ja aikaisempiin matemaattisiin tietoihin. H&#228;n pystyy n&#228;kem&#228;&#228;n konkreettisen lineaarialgebran yleisemm&#228;n, abstraktin lineaarialgebran erikoistapauksena. H&#228;nell&#228; on sellaiset abstraktin lineaarialgebran perusvalmiudet, joiden pohjalta yht&#228;&#228;lt&#228; h&#228;n pystyy jatkamaan matematiikan syvent&#228;viin opintoihin ja toisaalta h&#228;n kykenee omaksumaan tietyill&#228; matematiikan ja sen l&#228;hitieteiden opintojaksoilla kehitett&#228;vi&#228; sovelluksia.</p>

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen p&#228;&#228;ttelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla on luentomoniste. Oheislukemistona suositellaan mm. teoksia</p> <br><p>Anton, H., Elementary linear algebra</p> <br><p>Lay, D. C., Linear algebra and its applications</p>

<p>Graafiteorian perusk&#228;sitteet, polut, alirakenteet, yhten&#228;isyys ja s&#228;rm&#228;yhten&#228;isyys, irrotussolmut ja lohkot, sovitukset ja kaksijakoiset graafit, tasograafit, graafien v&#228;ritykset, graafien matriisiesitykset. </p>

<p>Opintojakson suorittamisen j&#228;lkeen opiskelija tuntee erilaiset graafityypit ja hallitsee graafien perusoperaatiot. H&#228;n osaa m&#228;&#228;ritt&#228;&#228; annetun graafin yhten&#228;isyysasteen ja tehd&#228; kaksijakoiseen graafiin sovituksen. Opiskelija osaa todistaa Eulerin kaavan ja soveltaa sit&#228; tasograafien analysointiin. Opiskelija osaa tarkastella graafien ominaisuuksia solmu- ja s&#228;rm&#228;v&#228;ritysten sek&#228; matriisiesitysten avulla. H&#228;n osaa todistaa graafeja koskevia tuloksia induktiolla solmujen tai s&#228;rmien lukum&#228;&#228;rien suhteen. Opiskelija tunnistaa graafeille sovelluskohteita eri tieteenaloilla. </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Joukko-opin perusteet, funktiot, matriisien laskutoimitukset, ominaisarvot ja ominaisvektorit.</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op</li><li>Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen p&#228;&#228;ttelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Yhden muuttujan funktiot, Osa 1, MATH.MA.120, 5op</li><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla k&#228;ytet&#228;&#228;n soveltuvin osin monistetta</p> <br><p>Koivisto, Niemist&#246;, Graafiteoriaa.</p>

<p>T&#228;rkeimm&#228;t yksiulotteiset diskreetit ja jatkuvat jakaumat, Bernoullin prosessi, Poissonin prosessi, keskeinen rajav&#228;itt&#228;m&#228;, muuttujien vaihto, momenttifunktio, kaksi- ja moniulotteiset jakaumat, moniulotteinen normaalijakauma, normaalijakauman muunnokset, otossuureiden jakaumat.</p>

<p>Opiskelija hallitsee tavallisimpien yksiulotteisten diskreettien ja jatkuvien todenn&#228;k&#246;isyysjakaumien perusominaisuudet ja osaa hy&#246;dynt&#228;&#228; niit&#228; todenn&#228;k&#246;isyyslaskentaan. Opiskelija osaa tehd&#228; satunnaismuuttujan muunnoksia ja soveltaa momenttifunktiota jakaumien ominaisuuksien tarkasteluun. Opiskelija tuntee keskeisen rajav&#228;itt&#228;m&#228;n. Opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228; moniulotteisen, erityisesti kaksiulotteisen, satunnaismuuttujan jakauman luonnehtimiseen liittyv&#228;n k&#228;sitteist&#246;n. Opiskelija tuntee muutaman keskeisen moniulotteisen jakauman ja hallitsee moniulotteisen normaalijakauman perusominaisuudet. Opiskelija hallitsee t&#228;rkeimm&#228;t normaalijakaumasta muunnoksina saatavat jakaumat.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Suositellut esitiedot tai vastaavat tiedot.</p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus todenn&#228;k&#246;isyyslaskentaan ja tilastolliseen p&#228;&#228;ttelyyn, MATH.APP.210, 5op</li><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin ja jaettavaan materiaaliin. Oheislukemistona voi k&#228;ytt&#228;&#228; esimerkiksi&#160; teoksia</p> <br><p>Casella, G., Berger, R. L., Statistical inference</p> <br><p>Hogg, R. V., Tanis, E. A., Probability and statistical inference</p> <br><p>Laininen, P., Todenn&#228;k&#246;isyys ja sen tilastollinen soveltaminen</p> <br><p>Ross, S., A first course in probability</p> <br><p>Tuominen, P., Todenn&#228;k&#246;isyyslaskenta I</p>

Kertausta ekvivalenssirelaatiosta. Lyhyt katsaus reaalilukuihin. Kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen konstruointi l&#228;htien luonnollisista luvuista. <br>

Opintojakson j&#228;lkeen opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228; lukujoukkojen konstruktioiden perusideat ja osaa vertailla kirjallisuudessa esitettyj&#228; erilaisia konstruktioita. Opiskelija osaa johtaa ja todistaa kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen konstruoinnissa tarvittavia aputuloksia ja osaa soveltaa niit&#228; my&#246;s uusien ongelmien ratkaisemiseen.

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen p&#228;&#228;ttelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li><li>Algebra, MATH.MA.450, 5op</li></ul>

<p>Hamilton, A.G., Numbers,sets, and axioms.</p> <br><p>Enderton, Herbert B., Elements of set theory.</p>

Lauselogiikan kaavat, induktio kaavan pituuden suhteen, totuusjakaumat, totuustaulut ja totuusfunktiot, tautologiat, lauselogiikan mallit, validisuus ja looginen seuraus, lauselogiikan luonnollinen p&#228;&#228;ttely, eheyslause ja t&#228;ydellisyyslause luonnolliselle p&#228;&#228;ttelylle, semanttiset puut.

Opintojakson suorittanut opiskelija osaa itsen&#228;isesti tutkia, onko annettu propositiolause tautologia, tai p&#228;teek&#246; looginen seuraus annetun lausejoukon ja lauseen v&#228;lill&#228;. H&#228;n tuntee opintojaksolla opetetut menetelm&#228;t n&#228;iden kysymysten ratkaisemiseen, ja osaa valita menetelmist&#228; tilanteeseen parhaiten sopivan. H&#228;n ymm&#228;rt&#228;&#228; sek&#228; semanttisten puiden menetelm&#228;n, ett&#228; luonnollisen p&#228;&#228;ttelyn periaatteet, ja osaa todistaa eheyslauseen ja t&#228;ydellisyyslauseen todistuksiin liittyv&#228;t keskeiset aputulokset.

<h2>Esitiedot</h2><p>Logiikan alkeet, joukko-opin perusteet, relaation ja funktion k&#228;siteet, induktio</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen p&#228;&#228;ttelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen p&#228;&#228;ttelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjassa</p> <br><p>Salminen-V&#228;&#228;n&#228;nen: Johdatus logiikkaan.</p> <br><p>sek&#228; monisteessa</p> <br><p>Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.</p>

<p>Predikaattilogiikan aakkosto ja kaavat, mallit ja tulkintafunktiot, Tarskin totuusm&#228;&#228;ritelm&#228;, luonnollinen p&#228;&#228;ttely predikaattilogiikassa, eheys- ja t&#228;ydellisyyslauseet, relaatioalgebra. &nbsp;Modaalilogiikan kaavat, Kripke-kehykset ja -mallit, validisuus malleissa ja kehyksiss&#228;, modaalisysteemit.<br></p>

<p>Opintojakson suorittanut opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228; predikaattilogiikan mallin k&#228;sitteen, sek&#228; totuusm&#228;&#228;ritelm&#228;n. H&#228;n osaa tutkia, onko annettu kaava tosi annetussa mallissa k&#228;ytt&#228;en tulkintafunktion k&#228;sitett&#228;. H&#228;n osaa my&#246;s kirjoittaa itse predikaattilogiikan kaavoja, jotka ilmaisevat yksinkertaisia mallien ominaisuuksia. Opiskelija osaa tuottaa luonnollisia p&#228;&#228;ttelyit&#228; valideille predikaattilogiikan lauseille. H&#228;n osaa my&#246;s muodostaa kyselyit&#228; sek&#228; predikaattilogiikan kaavoilla ett&#228; relaatioalgebrassa, ja h&#228;n osaa verrata niit&#228; kesken&#228;&#228;n.</p><p>Lis&#228;ksi h&#228;n tuntee modaalilogiikan kielen ja hallitsee Kripke-mallin ja Kripke-kehyksen k&#228;sitteet. H&#228;n osaa tutkia, onko annettu kaava tosi/validi annetussa mallissa/kehyksess&#228;, ja h&#228;n ymm&#228;rt&#228;&#228; totuuden ja validisuuden k&#228;sitteiden eron. H&#228;n tuntee my&#246;s perusmodaalisysteemien aksiomatisoinnit.</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, lauselogiikka, aksioomat ja p&#228;&#228;ttelysys&#228;&#228;nn&#246;t</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Lause- ja predikaattilogiikka, MATH.MA.510, 5op</li></ul>

<p>Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa</p> <br><p>Salminen-V&#228;&#228;n&#228;nen: Johdatus logiikkaan ja</p><p>Rantala-Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan &#160;</p> <br><p>sek&#228; monisteessa</p> <br><p>Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.</p>

Derivaatta, v&#228;liarvolause, porrasfunktiot, Riemann-integraali, analyysin peruslause.

Opiskelija hallitsee derivaatan m&#228;&#228;ritelm&#228;n ja osaa m&#228;&#228;ritt&#228;&#228; derivaattoja sek&#228; suoraan m&#228;&#228;ritelmien avulla ett&#228; eri tekniikoita k&#228;ytt&#228;en. H&#228;n osaa johtaa ja todistaa derivoituvien funktioiden perusominaisuuksia sek&#228; hallitsee Riemann-integraalin m&#228;&#228;ritelm&#228;n ja osaa tutkia Riemann-integroituvuutta yksinkertaisissa tilanteissa. H&#228;n osaa johtaa ja todistaa integroituvuutta koskevat perustulokset sek&#228; tuntee integraalin ja derivaatan v&#228;lisen yhteyden.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan k&#228;ytt&#228;&#228; esimerkiksi teoksia</p> <br><p></p><p>Koivisto, P., Analyysi B</p><br><br><p>Harjulehto, P., Kl&#233;n, R., Koskenoja, M., Analyysi&#228; reaaliluvuilla.</p><br><br><p>Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.</p><br><br><p>Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.</p><br><br><p>Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.</p><br><br><p></p>

Ryhm&#228;t, renkaat, kunnat, aliryhm&#228;t ja ideaalit, homomorfismit, tekij&#228;ryhm&#228;t ja tekij&#228;renkaat, yhden muuttujan polynomit.

Opintojakson aikana opiskelijan kyky abstraktiin ajatteluun kehittyy niin, ett&#228; h&#228;n hahmottaa abstraktin algebran perusstruktuurit kuten ryhm&#228;t, renkaat ja kunnat sek&#228; kykenee tunnistamaan ne eri yhteyksiss&#228;. H&#228;n osaa johtaa ja todistaa n&#228;it&#228; koskevat keskeiset tulokset. Erityisesti h&#228;n osaa hy&#246;dynt&#228;&#228; sellaisia algebran k&#228;sitteit&#228; ja ty&#246;kaluja kuten aliryhm&#228;t ja ideaalit, homomorfismit, tekij&#228;ryhm&#228;t ja tekij&#228;renkaat sek&#228; yhden muuttujan polynomit.

<h2>Esitiedot</h2><p>Pakollisiksi esitiedoiksi riitt&#228;&#228; matematiikan perusopinnot 25 op tai tekniikan puolen matematiikan perusopinnot v&#228;h. 25 op. Mik&#228;li opintosuunnitelmaasi kuuluu opintojakso MATH.MA.210 Diskreetti matematiikka se tulee suorittaa ennen Algebran opintojaksoa.</p><h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen p&#228;&#228;ttelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin, mutta oheislukemistona suositellaan teoksia</p> <br><p>Lauritzen, N., Concrete abstract algebra.</p> <br><p>Rotman, J., First course in abstract algebra.</p>

<p>Reaaliluvut, lukujoukon pienin yl&#228;raja ja suurin alaraja, lukujonon suppeneminen, Bolzano-Weierstrassin lause, raja-arvot ja &amp;#34;epsilon-delta&amp;#34;-tekniikka, funktion jatkuvuus, Bolzanon lause.</p>

<p>Opiskelija osaa m&#228;&#228;ritt&#228;&#228; lukujoukon pienimm&#228;n yl&#228;rajan ja suurimman alarajan yksinkertaisissa tilanteissa, osaa tutkia lukujonojen suppenemista ja perusominaisuuksia, osaa m&#228;&#228;ritt&#228;&#228; raja-arvoja ja tutkia jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia.</p><p>Opiskelija pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla m&#228;&#228;ritelmi&#228; ja perustuloksia ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.&#160;&#160;</p>

<h2>Esitiedot</h2><p>MATH.MA.110 Johdatus analyysiin tai MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi (entinen MATH.APP.110 Insin&#246;&#246;rimatematiikan perusteet). Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelman opiskelijoilta ei vaadita esitietoja.<br></p><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus analyysiin, MATH.MA.110, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan k&#228;ytt&#228;&#228; esimerkiksi teoksia</p> <br><p></p><p>Koivisto, P., Analyysi A</p><br><br><p>Harjulehto, P., Kl&#233;n, R., Koskenoja, M., Analyysi&#228; reaaliluvuilla.</p><br><br><p>Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.</p><br><br><p>Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.</p><br><br><p>Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.</p><br><br><p></p>

<p>Todenn&#228;k&#246;isyyden k&#228;site, todenn&#228;k&#246;isyyslaskennan laskus&#228;&#228;nt&#246;j&#228;, ehdollisen todenn&#228;k&#246;isyyden ja riippumattomuuden k&#228;sitteet, kokonaistodenn&#228;k&#246;isyyden ja Bayesin kaavat. Satunnaismuuttujan k&#228;site, todenn&#228;k&#246;isyysjakauma ja kertym&#228;funktio, satunnaismuuttujan sijainti- ja vaihtelumittoja, diskreettej&#228; ja jatkuvia jakaumia, Keskeinen raja-arvolause. Todenn&#228;k&#246;isyysotanta, piste-estimointi, v&#228;liestimointi, merkitsevyystestaus. </p>

<p>Opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228;, mit&#228; todenn&#228;k&#246;isyydell&#228; tarkoitetaan ja osaa laskea todenn&#228;k&#246;isyyksi&#228;. Opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228; satunnaismuuttujan ja sen toteuman eron sek&#228; todenn&#228;k&#246;isyysjakauman ja kertym&#228;funktion k&#228;sitteet ja erot jatkuvassa ja diskreetiss&#228; tilanteessa. Opiskelija hallitsee t&#228;rkeimm&#228;t todenn&#228;k&#246;isyysjakaumat ja keskeisen raja-arvolauseen. Opiskelija ymm&#228;rt&#228;&#228;, mit&#228; tarkoitetaan todenn&#228;k&#246;isyysotannalla, piste-estimoinnilla, v&#228;liestimoinnilla ja merkitsevyystestauksella. Opiskelija &nbsp;kokee opiskellun teorian empiirisesti relevantiksi. Opiskelija osaa &nbsp;soveltaa kurssilla tarkasteltuja menetelmi&#228; tilastollisella &nbsp;ohjelmistolla. </p>

<h2>Esitiedot</h2><p>Pakolliset esitiedot: Lukion matematiikka tai vastaava osaaminen.</p><p><br></p><p>Suositellut esitiedot &nbsp;(jokin alla olevista tai vastaava osaaminen):</p><p>MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi </p><p>TAI </p><p>MATH.APP.160 &nbsp; &nbsp;Differentiaali- ja integraalilaskenta </p><p>TAI </p><p>DATA.STAT.110 &nbsp; &nbsp;Tilastotieteen johdantokurssi </p>

Ep&#228;oleellinen integraali, lukusarjat, funktiosarjat, potenssisarjat.

Opintojakson j&#228;lkeen opiskelija hallitsee ep&#228;oleellisen integraalin m&#228;&#228;rittelyn ja osaa tutkia ep&#228;oleellisen integraalin suppenemista, hallitsee sek&#228; reaalilukusarjojen ett&#228; funktiosarjojen perusm&#228;&#228;ritelm&#228;t ja -ominaisuudet sek&#228; osaa tutkia sarjojen suppenemista ja perusominaisuuksia.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li></ul>

<p>Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan k&#228;ytt&#228;&#228; esimerkiksi teoksia</p> <br><p></p><p>Koivisto, P., Analyysi C</p><br><br><p>Harjulehto, P., Kl&#233;n, R., Koskenoja, M., Analyysi&#228; reaaliluvuilla.</p><br><br><p>Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.</p><br><br><p>Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.</p><br><br><p>Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.</p><br><br><p></p>

Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus

Laajuus

Hinta

Kampus

Kaupunki

Tiedekunta tai osaamisyksikkö

Opetuksessa käytettävät kielet

Koodi

Koulutusala

Opintojen suorittaminen

Diskreetti matematiikka, 5 op

Analyyttinen geometria aineenopettajille, 5 op

Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, 5 op

Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, 5 op

Euklidiset avaruudet, 5 op

Analyysin peruskurssi, 5 op

Vektorit ja matriisit, 5 op

Lineaarialgebra, 5 op

Graafiteoria, 5 op

Matemaattisen tilastotieteen perusteet, 5 op

Lukualueet aineenopettajille, 5 op

Lauselogiikka, 5 op

Modaali- ja predikaattilogiikka, 5 op

Analyysi B: derivaatta ja integraali, 5 op

Algebra, 5 op

Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, 5 op

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastolliseen päättelyyn, 5 op

Analyysi C: epäoleellinen integraali ja sarjat, 5 op

Yhteystiedot

Hakumenettely

Maksuehto

Anna palautetta!

Viimeksi katsomasi koulutukset

Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus