Matematiikka opetettavana aineena, avoin yliopisto-opetus

Kurssin suoritettuaan opiskelija  
- ymmärtää matemaattisen todistamisen idean ja tarpeellisuuden ja osaa hyödyntää päättelyjärjestelmää päättelyssä.  
- tuntee joukko-opin alkeet sekä funktioiden ja relaatioiden perusominaisuudet  
- on omaksunut keskeiset matemaattiset merkinnät  
- hallitsee kombinatoriikan perusteet, kokonaislukujen perusominaisuudet ja modulaariaritmetiikan  
- osaa manipuloida permutaatioryhmiä  

Lyhyesti: logiikkaa, joukot, funktiot, relaatiot, induktio ja rekursio, kombinatoriikkaa, modulaariaritmetiikkaa, permutaatio- ja symmetriaryhmät

Tarkemmin:  

1. Joukko-oppi, logiikka ja looginen päättely: Joukko-opin ja logiikan peruskäsitteet ja operaatiot, indeksöidyt yhdisteet ja leikkaukset, todistamista sekä looginen päättelyjärjestelmä.  

2. Relaatiot ja funktiot, ekvivalenssirelaatio, bijektio, joukkojen mahtavuus.  

3. Kombinatoriikka: peruskäsitteet, summa-, tulo- ja kyyhkyslakkaperiaate.  

4. Modulaariaritmetiikka: kongruessin käsite ja modulaariyhtälön ratkaiseminen.  

5. Ryhmät ja permutaatiot: permutaatiot transpositioiden tulona ja permutaation etumerkki, permutaatio- ja symmetriaryhmät, permutaatioryhmien manipulointi. 

Esitiedot

Pakollinen esitieto: lukion pitkän matematiikan sisältö. Opintojaksoa ei suositella ensimmäiseksi matematiikan opintojaksoksi yliopistotasolla. Suositeltavaa on opiskella ainakin joko Johdatus yliopistomatematiikkaan tai Analyysin peruskurssi ennen tätä opintojaksoa. 

Suositellut esitiedot

• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op
• Johdatus yliopistomatematiikkaan, MATH.APP.010, 5op

Kenneth Rosen: Discrete mathematics and applications

Richard Hammack: Book of Proof

Oscar Levin: Discrete Mathematics

James Hein: Discrete Mathematics.

Yleinen asteikko, 0-5

Kurssilla tutustutaan analyyttiseen geometriaan algebrallisesta näkökulmasta.  Kurssin suoritettuaan opiskelija tuntee eri tavat määritellä kartioleikkaukset ja niiden yhteyden toisiinsa. Erityisesti hän hallitsee määrittelyn polttopisteen ja johtosuoran avulla. Hän ymmärtää, miten suora leikkaa kartioleikkausta, ja osaa määrittää kartioleikkaukselle tangentteja. Hän on perillä napapisteistä ja napasuorista. Hän osaa havainnollistaa analyyttistä geometriaa GeoGebra-ohjelman avulla. Hän pystyy peilaamaan oppimaansa suhteessa lukion analyyttisen geometrian oppiainekseen.  Opiskelija osaa määritellä kurssilla esiintyvät käsitteet täsmällisesti ja tuntee kurssilla käsitellyt konstruktiot. Hän pystyy ratkaisemaan  käsiteltyihin asioihin liittyviä laskutehtäviä sekä kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

• Analyyttinen geometria peruskoulun ja lukion opetussuunnitelmassa
• Euklidinen taso, kulma
• Suorat ja tasot
• Kartioleikkaukset, niiden keskipisteet ja akselit
• Eri tavat määritellä kartioleikkaus
• Tangentit ja normaalit
• Napa ja napasuora, inversio ympyrän suhteen.

Pakolliset esitiedot

• Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op
• Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op

Oheislukemistoksi suositellaan teoksia:

Gibson, Christopher G. Elementary Euclidean Geometry an Introduction . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003.

Stachel, Glaeser. Universe of Conics: From the Ancient Greeks to 21st Century Developments. Springer, 2016

Henn, Filler. Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra: Algebraisch verstehen – Geometrisch veranschaulichen und anwenden. 2015th ed. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.

Yleinen asteikko, 0-5

Kurssin  suoritettuaan opiskelijalla on täsmälliset perustiedot usean muuttujan  analyysistä ja pystyy hyödyntämään näitä myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija  osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan  yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy verifioimaan keskeisimpien  tulosten todistukset. Erityisesti  hän ymmärtää derivaatan lineaarikuvauksena. Hän tuntee käänteiskuvaus-  ja implisiittifunktiolauseen sekä osaa soveltaa niitä. Hän on perillä  moniulotteisesta Riemann-integroinnista ja tuntee käyräintegraalin. Opiskelija  pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan  matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

Differentioituvuus, derivaatta lineaarikuvauksena;

Osittaisderivaatat, gradientti ja tämän geometrinen merkitys;

Korkeammat osittaisderivaatat, derivoimisjärjestyksen vaihto;

Käänteiskuvauslause;

Implisiittifunktiolause;

Riemann-integraali porrasfunktioiden avulla;

Iteroitu integraali;

Käyräintegraali.

Esitiedot

Yksiulotteinen differentiaali- ja integraalilaskenta, avaruuden R^n topologia, usean muuttujan funktion jatkuvuus, lineaarialgebran perusteet.

Suositellut esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op
• Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op
• Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op
• Euklidiset avaruudet, MATH.MA.620, 5op

Heikki Orelma: Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta (luentomoniste, tenttimateriaali)

Tom M. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd ed, Pearson, 1974

Patrick M. Fitzpatrick, Advanced Calculus,  Pure and Applied Undergraduate Texts, Volume 5 American Mathematical Society, Providence RI, 2009

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson jälkeen opiskelija ymmärtää ja osaa soveltaa relaatioihin ja funktioihin liittyviä käsitteitä ja osaa johtaa ja todistaa niitä koskevia tuloksia. Opiskelija osaa ratkaista myös sellaisia diskreetin matematiikan ongelmia, jotka eivät suoraan muistuta annettuja esimerkkejä. Opiskelija osaa analysoida ja vertailla kirjallisuudessa esitettyjä relaatioita ja funktioita koskevia vaativahkojakin perustason todistuksia.

Induktiotodistukset: 1. ja 2. induktioperiaate, rekursiiviset määritelmät.

Todistuksia joukko-opin peruskäsitteille.

Relaatioiden ominaisuudet ja sulkeumat, kuvaukset.

Jaollisuus ja alkuluvut, Aritmetiikan peruslause.

Kongruenssi ja kongruenssiluokat.

Fermat’n pieni lause.

Esitiedot

Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, permutaatiot, logiikan alkeet

Pakolliset esitiedot

• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa 

Merikoski-Virtanen-Koivisto: Diskreetti matematiikka

Lauritzen, N.: Concrete abstract algebra ja Rotman, J.: First course in abstract algebra.

Yleinen asteikko, 0-5

Suoritettuaan opintojakson opiskelija tuntee euklidisen avaruuden topologian ja metriikan peruskäsitteet ja -tulokset. Opiskelija osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla perustuloksia. Opiskelija pystyy todentamaan keskeisimpien tulosten todistukset. Opiskelija osaa soveltaa käsitteitä ja tuloksia myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

• Euklidisen avaruuden sisätulo ja normi, Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälö, kolmioepäyhtälö
• Euklidisen avaruuden topologiaa: avoimet ja suljetut joukot, reuna, sulkeuma, kasaantumispiste
  
• Kuvauksen raja-arvot ja jatkuvuus
  
• Jonon suppeneminen
  
• Cauchyn ehto ja täydellisyys
  
• Kompaktisuus, Heinen ja Borelin lause
  
• Jatkuvat kuvaukset ja kompaktisuus
  
• Polut, polkuyhtenäisyys, alue
  
• Yleiset metriset avaruudet ja normiavaruudet 
  

Pakolliset esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op
• Matemaattinen analyysi, MAT-60200, 5op

• Fitzpatrick, P. Advanced Calculus: Second Edition. American Mathematical Society, 2009.
• Carothers, N. Real Analysis, Part 1 "Metric Spaces". Cambridge University Press, 2000.
  
• Väisälä, J. Topologia I. 4. korj. p. Limes ry, 2007.
  
• Purmonen, V. T. Differentiaali- ja integraalilaskentaa: usean reaalimuuttujan funktioille. 1 osa. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001.
  
• Purmonen, V. T. Euklidiset avaruudet. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001. 
  

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa tulkita ja kirjoittaa reaalilukujen osajoukkoja yhdistettä, leikkausta, erotusta ja komplementtia käyttäen. Opiskelija osaa hahmotella alkeisfunktioiden ja niistä koostettujen yksinkertaisten funktioiden kuvaajia, määrittää niille raja-arvoja, laskea derivaattoja ja tehdä derivaatan avulla johtopäätöksiä funktion kulusta ja ääriarvoista ja tutkia funktion käyttäytymistä raja-arvoja laskemalla. Opiskelija osaa ilmaista kompleksiluvun koordinaatti- ja eksponenttimuodossa, laskea peruslaskutoimituksia molempia esityksiä käyttäen ja siirtyä näiden esitysten välillä, laskea kompleksiluvun juuret ja jakaa reaalikertoimisen polynomin tekijöihinsä. Opiskelija tuntee integraalifunktion ja määrätyn integraalin käsitteet ja osaa laskea perusintegraaleja. Opiskelija osaa esittää ratkaisunsa sekä suullisesti että kirjallisesti.

Ydinsisältö

• Joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti. Analyysissä tarvittavan logiikan ja todistamisen esittelyä.
• Funktion määrittely. Funktion monotonisuus ja käänteisfunktio, yhdistetty funktio.
• Alkeisfunktioiden perusominaisuuksia. Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot.
• Kompleksilukujen summa, erotus, tulo ja osamäärä, liittoluku ja itseisarvo. Siirtyminen koordinaattimuodon a+bi ja napakoordinaatti- eli eksponenttimuodon välillä (Eulerin kaava), laskeminen eksponenttimuotoa käyttäen. Kompleksiluvun juurten haku.
• Funktion raja-arvo ja jatkuvuus, toispuoleiset raja-arvot ja epäoleelliset raja-arvot, l'Hopitalin sääntö.
• Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona, tulon ja osamäärän derivointi, yhdistetyn funktion derivointi (eli ketjusääntö) ja alkeisfunktioiden derivointi. Funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen selvittäminen derivaatan avulla.
• Integraalilaskennan perusteet.

Täydentävä tietämys

• Alkukuva, injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys.
• Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat ja tekijöihinjako.
• Jatkuvien funktioiden väliarvolause ja käänteisfunktion jatkuvuus.
• Käänteisfunktion derivaatta.
• Sovelluksia, mm. lineaarinen approksimaatio, usean muuttujan funktion derivaatta, gradientti.

Erityistietämys

• Differentiaalilaskennan väliarvolause.

Esitiedot

Oppimateriaali

• Tyyppi: Kirja
• Nimi: Calculus 6e, Early Transcendentals, Matrix Version
• Tekijä: Edwards & Penney
• Tenttimateriaali: Ei
• Kieli: Englanti

Oppimateriaali

• Tyyppi: Kirja
• Nimi: Linear algebra, A modern introduction (2nd ed.)
• Tekijä: Poole, David
• Tenttimateriaali: Ei
• Kieli: Englanti

Oppimateriaali

• Tyyppi: Kirja
• Nimi: Modern Engineering Mathematics (5th ed.)
• Tekijä: Glyn, James
  
• Tenttimateriaali: Ei
• Kieli: Englanti

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa ratkaista lineaarisen yhtälöryhmän Gaussin menetelmällä. Hän pystyy esittämään sen vektori- ja matriisimuodossa sekä
analysoimaan sen ratkaisujoukkoa. Hän tuntee euklidisen avaruuden aliavaruuden, kannan ja dimension käsitteet. Erityisesti hän pystyy selvittämään, ovatko annetut vektorit​
lineaarisesti riippumattomia. Opiskelija hallitsee matriisien peruslaskutoimitukset, osaa laskea neliömatriisin determinantin ja käänteismatriisin. Hän pystyy​
myös määrittämään sen ominaisarvot. Opiskelija osaa katsoa monia geometrisia kysymyksiä vektoreiden näkökulmasta, esittää niitä vektorialgebran kielellä ja ratkoa ​
tehtäviä lineaarialgebran työkaluilla. Hän kykenee todistamaan matriisien ja vektoreiden perusominaisuuksia täsmällisesti vaihe vaiheelta ​perustelemalla jokaisen päättelyn kohdan.
Hän pystyy hyödyntämään lineaarialgebraa käytännön ongelmien mallintamiseen. Hän osaa ratkaista laskutehtäviä paitsi ​ käsin myös symbolisella ohjelmistolla.

Ydinaines

Lineaariset yhtälöryhmät ja näiden ratkaisu Gaussin eliminoinnilla,
euklidisen avaruuden vektorijoukon lineaarinen riippumattomuus,
euklidisen avaruuden aliavaruus, kanta
ja dimensio,
suorat ja tasot,
matriisit, neliömatriisin determinantti, ominaisarvot ja diagonalisointi,
vektorien pistetulo, ristitulo ja vektorikolmitulo.​

Täydentävä tietämys

Esitiedot

EDELTÄVÄT OPINNOT TAI EDELTÄVÄ OSAAMINEN

Lukiomatematiikka

 SUOSITELTAVAT VALINNAISET OPINNOT  

Ennen opintojakson suorittamista on suositeltavaa suorittaa jokin seuraavista opintojaksoista: Matematiikan peruskäsitteet tai Insinöörimatematiikan perusteet tai Yhden muuttujan funktiot opintojakso.

Oppimateriaali

• Tyyppi: -
• Nimi: Linear algebra, A modern introduction (2nd ed.)
• Tekijä: Poole, David
• Tenttimateriaali: Kyllä
  
• Kieli: Englanti

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija hallitsee abstraktin lineaarialgebrallisen ajattelun perusteet. Hän osaa soveltaa matemaattista päättelyä ja aksiomaattista ajattelua niin, että hän kykenee todistamaan abstraktin lineaarialgebran perustulokset vetoamalla aksioomiin ja aikaisempiin matemaattisiin tietoihin. Hän pystyy näkemään konkreettisen lineaarialgebran yleisemmän, abstraktin lineaarialgebran erikoistapauksena. Hänellä on sellaiset abstraktin lineaarialgebran perusvalmiudet, joiden pohjalta yhtäältä hän pystyy jatkamaan matematiikan syventäviin opintoihin ja toisaalta hän kykenee omaksumaan tietyillä matematiikan ja sen lähitieteiden opintojaksoilla kehitettäviä sovelluksia.

Yleiset vektoriavaruudet, sisätuloavaruudet, lineaarikuvaukset, matriisin ominaisarvot ja diagonalisointi sekä pääakseliprobleema. 

Suositellut esitiedot

• Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op
• Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op
• Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op
• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op

Opintojaksolla on luentomoniste. Oheislukemistona suositellaan mm. teoksia

Anton, H., Elementary linear algebra

Lay, D. C., Linear algebra and its applications

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelija tuntee erilaiset graafityypit ja hallitsee graafien perusoperaatiot. Hän osaa määrittää annetun graafin yhtenäisyysasteen ja tehdä kaksijakoiseen graafiin sovituksen. Opiskelija osaa todistaa Eulerin kaavan ja soveltaa sitä tasograafien analysointiin. Opiskelija osaa tarkastella graafien ominaisuuksia solmu- ja särmäväritysten sekä matriisiesitysten avulla. Hän osaa todistaa graafeja koskevia tuloksia induktiolla solmujen tai särmien lukumäärien suhteen. Opiskelija tunnistaa graafeille sovelluskohteita eri tieteenaloilla.

Graafiteorian peruskäsitteet, polut, alirakenteet, yhtenäisyys ja särmäyhtenäisyys, irrotussolmut ja lohkot, sovitukset ja kaksijakoiset graafit, tasograafit, graafien väritykset, graafien matriisiesitykset.

Esitiedot

Joukko-opin perusteet, funktiot, matriisien laskutoimitukset, ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Pakolliset esitiedot

• Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op
• Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op

Suositellut esitiedot

• Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op
• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op
• Yhden muuttujan funktiot, Osa 1, MATH.MA.120, 5op
• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Opintojaksolla käytetään soveltuvin osin monistetta

Koivisto, Niemistö, Graafiteoriaa.

Graph Theory (Reinhard Diestel)

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija hallitsee tavallisimpien yksiulotteisten diskreettien ja jatkuvien todennäköisyysjakaumien perusominaisuudet ja osaa hyödyntää niitä todennäköisyyslaskentaan. Opiskelija osaa tehdä satunnaismuuttujan muunnoksia ja soveltaa momenttifunktiota jakaumien ominaisuuksien tarkasteluun. Opiskelija tuntee keskeisen rajaväittämän. Opiskelija ymmärtää moniulotteisen, erityisesti kaksiulotteisen, satunnaismuuttujan jakauman luonnehtimiseen liittyvän käsitteistön. Opiskelija tuntee muutaman keskeisen moniulotteisen jakauman ja hallitsee moniulotteisen normaalijakauman perusominaisuudet. Opiskelija hallitsee tärkeimmät normaalijakaumasta muunnoksina saatavat jakaumat.

Tärkeimmät yksiulotteiset diskreetit ja jatkuvat jakaumat, Bernoullin prosessi, Poissonin prosessi, keskeinen rajaväittämä, muuttujien vaihto, momenttifunktio, kaksi- ja moniulotteiset jakaumat, moniulotteinen normaalijakauma, normaalijakauman muunnokset, otossuureiden jakaumat.

Esitiedot

Suositellut esitiedot tai vastaavat tiedot.

Suositellut esitiedot

• Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastolliseen päättelyyn, MATH.APP.210, 5op
• Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin ja jaettavaan materiaaliin. Oheislukemistona voi käyttää esimerkiksi  teoksia

Casella, G., Berger, R. L., Statistical inference

Hogg, R. V., Tanis, E. A., Probability and statistical inference

Laininen, P., Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen

Ross, S., A first course in probability

Tuominen, P., Todennäköisyyslaskenta I

Yleinen asteikko, 0-5

Pakolliset esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op
• Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op

Suositellut esitiedot

• Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op
• Algebra, MATH.MA.450, 5op

Hamilton, A.G., Numbers,sets, and axioms.

Enderton, Herbert B., Elements of set theory.

Yleinen asteikko, 0-5

Esitiedot

Logiikan alkeet, joukko-opin perusteet, relaation ja funktion käsiteet, induktio

Pakolliset esitiedot

• Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op
• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Suositellut esitiedot

• Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjassa

Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan.

sekä monisteessa

Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson suorittanut opiskelija ymmärtää predikaattilogiikan mallin käsitteen, sekä totuusmääritelmän. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi annetussa mallissa käyttäen tulkintafunktion käsitettä. Hän osaa myös kirjoittaa itse predikaattilogiikan kaavoja, jotka ilmaisevat yksinkertaisia mallien ominaisuuksia. Opiskelija osaa tuottaa luonnollisia päättelyitä valideille predikaattilogiikan lauseille. Hän osaa myös muodostaa kyselyitä sekä predikaattilogiikan kaavoilla että relaatioalgebrassa, ja hän osaa verrata niitä keskenään.

Lisäksi hän tuntee modaalilogiikan kielen ja hallitsee Kripke-mallin ja Kripke-kehyksen käsitteet. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi/validi annetussa mallissa/kehyksessä, ja hän ymmärtää totuuden ja validisuuden käsitteiden eron. Hän tuntee myös perusmodaalisysteemien aksiomatisoinnit.

Predikaattilogiikan aakkosto ja kaavat, mallit ja tulkintafunktiot, Tarskin totuusmääritelmä, luonnollinen päättely predikaattilogiikassa, eheys- ja täydellisyyslauseet, relaatioalgebra.  Modaalilogiikan kaavat, Kripke-kehykset ja -mallit, validisuus malleissa ja kehyksissä, modaalisysteemit.

Esitiedot

Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, lauselogiikka, aksioomat ja päättelysysäännöt

Pakolliset esitiedot

• Lauselogiikka, MATH.MA.510, 5op

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa

Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan ja

Rantala-Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan  

sekä monisteessa

Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.

Yleinen asteikko, 0-5

Suositellut esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia

Koivisto, P., Analyysi B

Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.

Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.

Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.

Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Yleinen asteikko, 0-5

Esitiedot

Pakollisiksi esitiedoiksi riittää matematiikan perusopinnot 25 op tai tekniikan puolen matematiikan perusopinnot väh. 25 op. Mikäli opintosuunnitelmaasi kuuluu opintojakso MATH.MA.210 Diskreetti matematiikka se tulee suorittaa ennen Algebran opintojaksoa.

Pakolliset esitiedot

• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Suositellut esitiedot

• Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op
• Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op
• Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin, mutta oheislukemistona suositellaan teoksia

Lauritzen, N., Concrete abstract algebra.

Rotman, J., First course in abstract algebra.

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija osaa määrittää lukujoukon pienimmän ylärajan ja suurimman alarajan yksinkertaisissa tilanteissa, osaa tutkia lukujonojen suppenemista ja perusominaisuuksia, osaa määrittää raja-arvoja ja tutkia jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia.

Opiskelija pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla määritelmiä ja perustuloksia ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.  

Reaaliluvut, lukujoukon pienin yläraja ja suurin alaraja, lukujonon suppeneminen, Bolzano-Weierstrassin lause, raja-arvot ja "epsilon-delta"-tekniikka, funktion jatkuvuus, Bolzanon lause.

Esitiedot

MATH.MA.110 Johdatus analyysiin tai MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi (entinen MATH.APP.110 Insinöörimatematiikan perusteet). Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelman opiskelijoilta ei vaadita esitietoja.

Suositellut esitiedot

• Johdatus analyysiin, MATH.MA.110, 5op
• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia

Koivisto, P., Analyysi A

Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.

Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.

Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.

Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija ymmärtää, mitä todennäköisyydellä tarkoitetaan ja osaa laskea todennäköisyyksiä. Opiskelija ymmärtää satunnaismuuttujan ja sen toteuman eron sekä todennäköisyysjakauman ja kertymäfunktion käsitteet ja erot jatkuvassa ja diskreetissä tilanteessa. Opiskelija hallitsee tärkeimmät todennäköisyysjakaumat ja keskeisen raja-arvolauseen. Opiskelija ymmärtää, mitä tarkoitetaan todennäköisyysotannalla, piste-estimoinnilla, väliestimoinnilla ja merkitsevyystestauksella. Opiskelija  kokee opiskellun teorian empiirisesti relevantiksi. Opiskelija osaa  soveltaa kurssilla tarkasteltuja menetelmiä tilastollisella  ohjelmistolla.

Todennäköisyyden käsite, todennäköisyyslaskennan laskusääntöjä, ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteet, kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat. Satunnaismuuttujan käsite, todennäköisyysjakauma ja kertymäfunktio, satunnaismuuttujan sijainti- ja vaihtelumittoja, diskreettejä ja jatkuvia jakaumia, Keskeinen raja-arvolause. Todennäköisyysotanta, piste-estimointi, väliestimointi, merkitsevyystestaus.

Esitiedot

Pakolliset esitiedot: Lukion matematiikka tai vastaava osaaminen.

Suositellut esitiedot  (jokin alla olevista tai vastaava osaaminen):

MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi

TAI

MATH.APP.160    Differentiaali- ja integraalilaskenta

TAI

DATA.STAT.110    Tilastotieteen johdantokurssi

Yleinen asteikko, 0-5

Suositellut esitiedot

• Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia

Koivisto, P., Analyysi C

Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.

Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.

Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.

Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Yleinen asteikko, 0-5