Matematiikan aineopintoja, avoin yliopisto-opetus

Kurssin  suoritettuaan opiskelijalla on täsmälliset perustiedot usean muuttujan  analyysistä ja pystyy hyödyntämään näitä myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija  osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan  yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy verifioimaan keskeisimpien  tulosten todistukset. Erityisesti  hän ymmärtää derivaatan lineaarikuvauksena. Hän tuntee käänteiskuvaus-  ja implisiittifunktiolauseen sekä osaa soveltaa niitä. Hän on perillä  moniulotteisesta Riemann-integroinnista ja tuntee käyräintegraalin. Opiskelija  pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan  matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

Differentioituvuus, derivaatta lineaarikuvauksena;

Osittaisderivaatat, gradientti ja tämän geometrinen merkitys;

Korkeammat osittaisderivaatat, derivoimisjärjestyksen vaihto;

Käänteiskuvauslause;

Implisiittifunktiolause;

Riemann-integraali porrasfunktioiden avulla;

Iteroitu integraali;

Käyräintegraali.

Esitiedot

Yksiulotteinen differentiaali- ja integraalilaskenta, avaruuden R^n topologia, usean muuttujan funktion jatkuvuus, lineaarialgebran perusteet.

Suositellut esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op
• Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op
• Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op
• Euklidiset avaruudet, MATH.MA.620, 5op

Heikki Orelma: Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta (luentomoniste, tenttimateriaali)

Tom M. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd ed, Pearson, 1974

Patrick M. Fitzpatrick, Advanced Calculus,  Pure and Applied Undergraduate Texts, Volume 5 American Mathematical Society, Providence RI, 2009

Yleinen asteikko, 0-5

Suoritettuaan opintojakson opiskelija tuntee euklidisen avaruuden topologian ja metriikan peruskäsitteet ja -tulokset. Opiskelija osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla perustuloksia. Opiskelija pystyy todentamaan keskeisimpien tulosten todistukset. Opiskelija osaa soveltaa käsitteitä ja tuloksia myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

• Euklidisen avaruuden sisätulo ja normi, Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälö, kolmioepäyhtälö
• Euklidisen avaruuden topologiaa: avoimet ja suljetut joukot, reuna, sulkeuma, kasaantumispiste
  
• Kuvauksen raja-arvot ja jatkuvuus
  
• Jonon suppeneminen
  
• Cauchyn ehto ja täydellisyys
  
• Kompaktisuus, Heinen ja Borelin lause
  
• Jatkuvat kuvaukset ja kompaktisuus
  
• Polut, polkuyhtenäisyys, alue
  
• Yleiset metriset avaruudet ja normiavaruudet 
  

Pakolliset esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op
• Matemaattinen analyysi, MAT-60200, 5op

• Fitzpatrick, P. Advanced Calculus: Second Edition. American Mathematical Society, 2009.
• Carothers, N. Real Analysis, Part 1 "Metric Spaces". Cambridge University Press, 2000.
  
• Väisälä, J. Topologia I. 4. korj. p. Limes ry, 2007.
  
• Purmonen, V. T. Differentiaali- ja integraalilaskentaa: usean reaalimuuttujan funktioille. 1 osa. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001.
  
• Purmonen, V. T. Euklidiset avaruudet. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001. 
  

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija hallitsee abstraktin lineaarialgebrallisen ajattelun perusteet. Hän osaa soveltaa matemaattista päättelyä ja aksiomaattista ajattelua niin, että hän kykenee todistamaan abstraktin lineaarialgebran perustulokset vetoamalla aksioomiin ja aikaisempiin matemaattisiin tietoihin. Hän pystyy näkemään konkreettisen lineaarialgebran yleisemmän, abstraktin lineaarialgebran erikoistapauksena. Hänellä on sellaiset abstraktin lineaarialgebran perusvalmiudet, joiden pohjalta yhtäältä hän pystyy jatkamaan matematiikan syventäviin opintoihin ja toisaalta hän kykenee omaksumaan tietyillä matematiikan ja sen lähitieteiden opintojaksoilla kehitettäviä sovelluksia.

Yleiset vektoriavaruudet, sisätuloavaruudet, lineaarikuvaukset, matriisin ominaisarvot ja diagonalisointi sekä pääakseliprobleema. 

Suositellut esitiedot

• Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op
• Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op
• Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op
• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op

Opintojaksolla on luentomoniste. Oheislukemistona suositellaan mm. teoksia

Anton, H., Elementary linear algebra

Lay, D. C., Linear algebra and its applications

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelija tuntee erilaiset graafityypit ja hallitsee graafien perusoperaatiot. Hän osaa määrittää annetun graafin yhtenäisyysasteen ja tehdä kaksijakoiseen graafiin sovituksen. Opiskelija osaa todistaa Eulerin kaavan ja soveltaa sitä tasograafien analysointiin. Opiskelija osaa tarkastella graafien ominaisuuksia solmu- ja särmäväritysten sekä matriisiesitysten avulla. Hän osaa todistaa graafeja koskevia tuloksia induktiolla solmujen tai särmien lukumäärien suhteen. Opiskelija tunnistaa graafeille sovelluskohteita eri tieteenaloilla.

Graafiteorian peruskäsitteet, polut, alirakenteet, yhtenäisyys ja särmäyhtenäisyys, irrotussolmut ja lohkot, sovitukset ja kaksijakoiset graafit, tasograafit, graafien väritykset, graafien matriisiesitykset.

Esitiedot

Joukko-opin perusteet, funktiot, matriisien laskutoimitukset, ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Pakolliset esitiedot

• Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op
• Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op

Suositellut esitiedot

• Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op
• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op
• Yhden muuttujan funktiot, Osa 1, MATH.MA.120, 5op
• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Opintojaksolla käytetään soveltuvin osin monistetta

Koivisto, Niemistö, Graafiteoriaa.

Graph Theory (Reinhard Diestel)

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija hallitsee tavallisimpien yksiulotteisten diskreettien ja jatkuvien todennäköisyysjakaumien perusominaisuudet ja osaa hyödyntää niitä todennäköisyyslaskentaan. Opiskelija osaa tehdä satunnaismuuttujan muunnoksia ja soveltaa momenttifunktiota jakaumien ominaisuuksien tarkasteluun. Opiskelija tuntee keskeisen rajaväittämän. Opiskelija ymmärtää moniulotteisen, erityisesti kaksiulotteisen, satunnaismuuttujan jakauman luonnehtimiseen liittyvän käsitteistön. Opiskelija tuntee muutaman keskeisen moniulotteisen jakauman ja hallitsee moniulotteisen normaalijakauman perusominaisuudet. Opiskelija hallitsee tärkeimmät normaalijakaumasta muunnoksina saatavat jakaumat.

Tärkeimmät yksiulotteiset diskreetit ja jatkuvat jakaumat, Bernoullin prosessi, Poissonin prosessi, keskeinen rajaväittämä, muuttujien vaihto, momenttifunktio, kaksi- ja moniulotteiset jakaumat, moniulotteinen normaalijakauma, normaalijakauman muunnokset, otossuureiden jakaumat.

Esitiedot

Suositellut esitiedot tai vastaavat tiedot.

Suositellut esitiedot

• Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastolliseen päättelyyn, MATH.APP.210, 5op
• Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin ja jaettavaan materiaaliin. Oheislukemistona voi käyttää esimerkiksi  teoksia

Casella, G., Berger, R. L., Statistical inference

Hogg, R. V., Tanis, E. A., Probability and statistical inference

Laininen, P., Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen

Ross, S., A first course in probability

Tuominen, P., Todennäköisyyslaskenta I

Yleinen asteikko, 0-5

Esitiedot

Logiikan alkeet, joukko-opin perusteet, relaation ja funktion käsiteet, induktio

Pakolliset esitiedot

• Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op
• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Suositellut esitiedot

• Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjassa

Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan.

sekä monisteessa

Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.

Yleinen asteikko, 0-5

Opintojakson suorittanut opiskelija ymmärtää predikaattilogiikan mallin käsitteen, sekä totuusmääritelmän. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi annetussa mallissa käyttäen tulkintafunktion käsitettä. Hän osaa myös kirjoittaa itse predikaattilogiikan kaavoja, jotka ilmaisevat yksinkertaisia mallien ominaisuuksia. Opiskelija osaa tuottaa luonnollisia päättelyitä valideille predikaattilogiikan lauseille. Hän osaa myös muodostaa kyselyitä sekä predikaattilogiikan kaavoilla että relaatioalgebrassa, ja hän osaa verrata niitä keskenään.

Lisäksi hän tuntee modaalilogiikan kielen ja hallitsee Kripke-mallin ja Kripke-kehyksen käsitteet. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi/validi annetussa mallissa/kehyksessä, ja hän ymmärtää totuuden ja validisuuden käsitteiden eron. Hän tuntee myös perusmodaalisysteemien aksiomatisoinnit.

Predikaattilogiikan aakkosto ja kaavat, mallit ja tulkintafunktiot, Tarskin totuusmääritelmä, luonnollinen päättely predikaattilogiikassa, eheys- ja täydellisyyslauseet, relaatioalgebra.  Modaalilogiikan kaavat, Kripke-kehykset ja -mallit, validisuus malleissa ja kehyksissä, modaalisysteemit.

Esitiedot

Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, lauselogiikka, aksioomat ja päättelysysäännöt

Pakolliset esitiedot

• Lauselogiikka, MATH.MA.510, 5op

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa

Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan ja

Rantala-Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan  

sekä monisteessa

Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.

Yleinen asteikko, 0-5

Suositellut esitiedot

• Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia

Koivisto, P., Analyysi B

Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.

Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.

Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.

Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Yleinen asteikko, 0-5

Esitiedot

Pakollisiksi esitiedoiksi riittää matematiikan perusopinnot 25 op tai tekniikan puolen matematiikan perusopinnot väh. 25 op. Mikäli opintosuunnitelmaasi kuuluu opintojakso MATH.MA.210 Diskreetti matematiikka se tulee suorittaa ennen Algebran opintojaksoa.

Pakolliset esitiedot

• Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op

Suositellut esitiedot

• Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op
• Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op
• Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin, mutta oheislukemistona suositellaan teoksia

Lauritzen, N., Concrete abstract algebra.

Rotman, J., First course in abstract algebra.

Yleinen asteikko, 0-5

Opiskelija osaa määrittää lukujoukon pienimmän ylärajan ja suurimman alarajan yksinkertaisissa tilanteissa, osaa tutkia lukujonojen suppenemista ja perusominaisuuksia, osaa määrittää raja-arvoja ja tutkia jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia.

Opiskelija pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla määritelmiä ja perustuloksia ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.  

Reaaliluvut, lukujoukon pienin yläraja ja suurin alaraja, lukujonon suppeneminen, Bolzano-Weierstrassin lause, raja-arvot ja "epsilon-delta"-tekniikka, funktion jatkuvuus, Bolzanon lause.

Esitiedot

MATH.MA.110 Johdatus analyysiin tai MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi (entinen MATH.APP.110 Insinöörimatematiikan perusteet). Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelman opiskelijoilta ei vaadita esitietoja.

Suositellut esitiedot

• Johdatus analyysiin, MATH.MA.110, 5op
• Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia

Koivisto, P., Analyysi A

Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.

Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.

Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.

Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Yleinen asteikko, 0-5

Suositellut esitiedot

• Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia

Koivisto, P., Analyysi C

Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla.

Trench, W.F., Introduction to Real Analysis.

Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis.

Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Yleinen asteikko, 0-5