Avoin yliopisto

Löydät hakuohjeet ja linkin hakupalveluun <a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/avoimet-korkeakouluopinnot/avoin-yliopisto/nain-haet-avoimen-yliopiston-opintoihin">Näin haet avoimen yliopiston opintoihin</a> –sivulta.

Osassa opinnoista vaaditaan edeltäviä opintoja. Esimerkiksi aineopinnoissa voidaan vaatia, että on suorittanut ensin perusopintoja. Opintojaksokohtaisista vaatimuksista kerrotaan aina koulutuksen sivulla Koulutuksen kuvaus -välilehdellä, kohdassa Esitietovaatimukset.

Kun sinut on hyväksytty opintoihin, on sinun ilmoittauduttava opetukseen ja mahdolliseen harjoitusryhmään Sisu-järjestelmässä. Saat tästä tarkemmat ohjeet sähköpostiisi sen jälkeen, kun olet maksanut opintomaksun.

Tampere

Matematiikan aineopintoja, avoin yliopisto-opetus

<h2>Sisällön kuvaus</h2>Opintokokonaisuuden suoritettuaan opiskelija tuntee matematiikan eri osa-alueita ja osaa hahmottaa niiden välisiä yhteyksiä. Lisäksi hän tuntee aksiomaattisen lähestymistavan ja hänellä on kyky hahmottaa abstrakteja struktuureja. Opiskelija osaa johtaa ja todistaa luennoilla esitettyjä tuloksia sekä soveltaa määritelmiä ja lauseita matemaattisten ongelmien ratkaisussa. Opiskelija osaa myös esittää laatimansa ratkaisut.<h2>Lisätiedot</h2>Matematiikan aineopinnot 35 op koostuvat seitsemästä 5 op laajuisesta opintojaksosta. Alla olevien linkkien kautta pääset tutustumaan tarkemmin kunkin kurssin sisältöihin ja  opetusaikatauluihin (tarkat opetusajat syyslukukauden osalta päivitetään kesäkuun aikana). Haku opintojaksoittain, huomio opintojaksolla vaadittavat edeltävät opinnot. Pakolliset opintojaksot 20 op: <a href="https://www.tuni.fi/fi/etsi?view_mode=list&amp;organisation=&amp;search_type=study&amp;study_fields=&amp;education_type=openuni&amp;keyword=MATH.MA.420&amp;study_level=13299" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.420 Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus 5 op </a> <ul><li>suoritettevissa toisessa (englanniksi) ja kolmannessa (suomeksi) opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/etsi?view_mode=list&amp;organisation=&amp;search_type=study&amp;study_fields=&amp;education_type=openuni&amp;keyword=MATH.MA.420&amp;study_level=13299" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.430 Analyysi B: derivaatta ja integraali 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa nejännessä opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/lineaarialgebra-luento-opetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.410 Lineaarialgebra 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa nejännessä opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/etsi?view_mode=list&amp;organisation=&amp;search_type=study&amp;study_fields=&amp;education_type=openuni&amp;keyword=MATH.MA.450&amp;study_level=13299" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.450 Algebra 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa ensimmäisessä (suomeksi) ja toisessa (englanniksi) opetusperiodissa</li></ul>Vaihtoehtoiset opintojaksot 15 op: <a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/analyysi-c-epaoleellinen-integraali-ja-sarjat-luento-opetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.440 Analyysi C: epäoleellinen integraali ja sarjat 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa toisessa opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/lauselogiikka-luento-opetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.510 Lauselogiikka 5 op </a> <ul><li>suoritettavissa ensimmäisessä opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/modaali-ja-predikaattilogiikka-luento-opetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.520 Modaali- ja predikaattilogiikka 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa toisessa opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/en/study-with-us/graph-theory-small-group-teaching" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.610 Graafiteoria 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa neljännessä opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/euklidiset-avaruudet-pienryhmaopetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.620 Euklidiset avaruudet </a> <ul><li>suoritettavissa ensimmäisessä opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/usean-muuttujan-differentiaali-ja-integraalilaskenta-luento-opetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">MATH.MA.630 Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa toisessa opetusperiodissa</li></ul><a href="https://www.tuni.fi/fi/tule-opiskelemaan/matemaattisen-tilastotieteen-perusteet-luento-opetus" target="_blank" rel="noopener noreferrer">DATA.STAT.420 Matemaattisen tilastotieteen perusteet 5 op</a> <ul><li>suoritettavissa toisessa opetusperiodissa</li></ul>                                             <h2>Esitiedot</h2>Matematiikan perusopinnot (25 op) sekä aineopintojakson kohdalla ilmoitetut esitietovaatimukset

Lisätietoja avoimen yliopiston tarjonnasta voi kysyä Tampereen yliopiston opintotoimistosta.Meidät tavoittaa sähköpostitse avoin.tau [at] tuni.fi Puhelimitse 0294 520 200Lisätietoa avoimessa opiskelusta verkkosivuillamme <a href="https://www.tuni.fi/avoinyliopisto">tuni.fi/avoinyliopisto</a>

Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta

Tekniikka ja luonnontieteet

suomi

Keskustakampus

Tutustu maksuehtoihin <a href="https://tuni.fi/maksuehdot-avoinyliopisto">Näin haet avoimen yliopiston opintoihin</a> -verkkosivulla.

Differentioituvuus, derivaatta lineaarikuvauksena; Osittaisderivaatat, gradientti ja tämän geometrinen merkitys; Korkeammat osittaisderivaatat, derivoimisjärjestyksen vaihto; Käänteiskuvauslause; Implisiittifunktiolause; Riemann-integraali porrasfunktioiden avulla; Iteroitu integraali; Käyräintegraali.

Kurssin  suoritettuaan opiskelijalla on täsmälliset perustiedot usean muuttujan  analyysistä ja pystyy hyödyntämään näitä myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija  osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan  yksinkertaisia todistuksia. Opiskelija pystyy verifioimaan keskeisimpien  tulosten todistukset. Erityisesti  hän ymmärtää derivaatan lineaarikuvauksena. Hän tuntee käänteiskuvaus-  ja implisiittifunktiolauseen sekä osaa soveltaa niitä. Hän on perillä  moniulotteisesta Riemann-integroinnista ja tuntee käyräintegraalin. Opiskelija  pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan  matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

<h2>Esitiedot</h2>Yksiulotteinen differentiaali- ja integraalilaskenta, avaruuden R^n topologia, usean muuttujan funktion jatkuvuus, lineaarialgebran perusteet. <h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Euklidiset avaruudet, MATH.MA.620, 5op</li><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li></ul>

Heikki Orelma: Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta (luentomoniste, tenttimateriaali)Tom M. Apostol: Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd ed, Pearson, 1974 Patrick M. Fitzpatrick, Advanced Calculus,  Pure and Applied Undergraduate Texts, Volume 5 American Mathematical Society, Providence RI, 2009

<ul><li>Euklidisen avaruuden sisätulo ja normi, Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälö, kolmioepäyhtälö </li><li>Euklidisen avaruuden topologiaa: avoimet ja suljetut joukot, reuna, sulkeuma, kasaantumispiste </li><li>Kuvauksen raja-arvot ja jatkuvuus </li><li>Jonon suppeneminen </li><li>Cauchyn ehto ja täydellisyys </li><li>Kompaktisuus, Heinen ja Borelin lause </li><li>Jatkuvat kuvaukset ja kompaktisuus </li><li>Polut, polkuyhtenäisyys, alue </li><li>Yleiset metriset avaruudet ja normiavaruudet  </li></ul>

Suoritettuaan opintojakson opiskelija tuntee euklidisen avaruuden topologian ja metriikan peruskäsitteet ja -tulokset. Opiskelija osaa määritellä peruskäsitteet tarkasti ja pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla perustuloksia. Opiskelija pystyy todentamaan keskeisimpien tulosten todistukset. Opiskelija osaa soveltaa käsitteitä ja tuloksia myöhemmissä opinnoissaan. Opiskelija pystyy keskustelemaan opintojakson matematiikasta ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

englanti

<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li><li>Matemaattinen analyysi, MAT-60200, 5op</li></ul>

<ul><li>Fitzpatrick, P. Advanced Calculus: Second Edition. American Mathematical Society, 2009. </li><li>Carothers, N. Real Analysis, Part 1 &amp;#34;Metric Spaces&amp;#34;. Cambridge University Press, 2000. </li><li>Väisälä, J. Topologia I. 4. korj. p. Limes ry, 2007. </li><li>Purmonen, V. T. Differentiaali- ja integraalilaskentaa: usean reaalimuuttujan funktioille. 1 osa. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001. </li><li>Purmonen, V. T. Euklidiset avaruudet. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 2001.  </li></ul>

Yleiset vektoriavaruudet, sisätuloavaruudet, lineaarikuvaukset, matriisin ominaisarvot ja diagonalisointi sekä pääakseliprobleema.

Opiskelija hallitsee abstraktin lineaarialgebrallisen ajattelun perusteet. Hän osaa soveltaa matemaattista päättelyä ja aksiomaattista ajattelua niin, että hän kykenee todistamaan abstraktin lineaarialgebran perustulokset vetoamalla aksioomiin ja aikaisempiin matemaattisiin tietoihin. Hän pystyy näkemään konkreettisen lineaarialgebran yleisemmän, abstraktin lineaarialgebran erikoistapauksena. Hänellä on sellaiset abstraktin lineaarialgebran perusvalmiudet, joiden pohjalta yhtäältä hän pystyy jatkamaan matematiikan syventäviin opintoihin ja toisaalta hän kykenee omaksumaan tietyillä matematiikan ja sen lähitieteiden opintojaksoilla kehitettäviä sovelluksia.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op</li></ul>

Opintojaksolla on luentomoniste. Oheislukemistona suositellaan mm. teoksia Anton, H., Elementary linear algebra Lay, D. C., Linear algebra and its applications

Graafiteorian peruskäsitteet, polut, alirakenteet, yhtenäisyys ja särmäyhtenäisyys, irrotussolmut ja lohkot, sovitukset ja kaksijakoiset graafit, tasograafit, graafien väritykset, graafien matriisiesitykset.

Opintojakson suorittamisen jälkeen opiskelija tuntee erilaiset graafityypit ja hallitsee graafien perusoperaatiot. Hän osaa määrittää annetun graafin yhtenäisyysasteen ja tehdä kaksijakoiseen graafiin sovituksen. Opiskelija osaa todistaa Eulerin kaavan ja soveltaa sitä tasograafien analysointiin. Opiskelija osaa tarkastella graafien ominaisuuksia solmu- ja särmäväritysten sekä matriisiesitysten avulla. Hän osaa todistaa graafeja koskevia tuloksia induktiolla solmujen tai särmien lukumäärien suhteen. Opiskelija tunnistaa graafeille sovelluskohteita eri tieteenaloilla.

<h2>Esitiedot</h2>Joukko-opin perusteet, funktiot, matriisien laskutoimitukset, ominaisarvot ja ominaisvektorit.<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Vektorit ja matriisit, MATH.MA.140, 5op</li><li>Lineaarialgebra 1A, MTTMP3, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op</li><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li><li>Yhden muuttujan funktiot, Osa 1, MATH.MA.120, 5op</li></ul>

Opintojaksolla käytetään soveltuvin osin monistetta Koivisto, Niemistö, Graafiteoriaa.

Tärkeimmät yksiulotteiset diskreetit ja jatkuvat jakaumat, Bernoullin prosessi, Poissonin prosessi, keskeinen rajaväittämä, muuttujien vaihto, momenttifunktio, kaksi- ja moniulotteiset jakaumat, moniulotteinen normaalijakauma, normaalijakauman muunnokset, otossuureiden jakaumat.

Opiskelija hallitsee tavallisimpien yksiulotteisten diskreettien ja jatkuvien todennäköisyysjakaumien perusominaisuudet ja osaa hyödyntää niitä todennäköisyyslaskentaan. Opiskelija osaa tehdä satunnaismuuttujan muunnoksia ja soveltaa momenttifunktiota jakaumien ominaisuuksien tarkasteluun. Opiskelija tuntee keskeisen rajaväittämän. Opiskelija ymmärtää moniulotteisen, erityisesti kaksiulotteisen, satunnaismuuttujan jakauman luonnehtimiseen liittyvän käsitteistön. Opiskelija tuntee muutaman keskeisen moniulotteisen jakauman ja hallitsee moniulotteisen normaalijakauman perusominaisuudet. Opiskelija hallitsee tärkeimmät normaalijakaumasta muunnoksina saatavat jakaumat.

<h2>Esitiedot</h2>Suositellut esitiedot tai vastaavat tiedot.<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li><li>Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastolliseen päättelyyn, MATH.APP.210, 5op</li></ul>

Opintojakso perustuu luentoihin ja jaettavaan materiaaliin. Oheislukemistona voi käyttää esimerkiksi  teoksia Casella, G., Berger, R. L., Statistical inference Hogg, R. V., Tanis, E. A., Probability and statistical inference Laininen, P., Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen Ross, S., A first course in probability Tuominen, P., Todennäköisyyslaskenta I

Lauselogiikan kaavat, induktio kaavan pituuden suhteen, totuusjakaumat, totuustaulut ja totuusfunktiot, tautologiat, lauselogiikan mallit, validisuus ja looginen seuraus, lauselogiikan luonnollinen päättely, eheyslause ja täydellisyyslause luonnolliselle päättelylle, semanttiset puut.

Opintojakson suorittanut opiskelija osaa itsenäisesti tutkia, onko annettu propositiolause tautologia, tai päteekö looginen seuraus annetun lausejoukon ja lauseen välillä. Hän tuntee opintojaksolla opetetut menetelmät näiden kysymysten ratkaisemiseen, ja osaa valita menetelmistä tilanteeseen parhaiten sopivan. Hän ymmärtää sekä semanttisten puiden menetelmän, että luonnollisen päättelyn periaatteet, ja osaa todistaa eheyslauseen ja täydellisyyslauseen todistuksiin liittyvät keskeiset aputulokset.

<h2>Esitiedot</h2>Logiikan alkeet, joukko-opin perusteet, relaation ja funktion käsiteet, induktio<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn, MTTMP2, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li></ul>

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjassa Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan. sekä monisteessa Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.

Predikaattilogiikan aakkosto ja kaavat, mallit ja tulkintafunktiot, Tarskin totuusmääritelmä, luonnollinen päättely predikaattilogiikassa, eheys- ja täydellisyyslauseet, relaatioalgebra.  Modaalilogiikan kaavat, Kripke-kehykset ja -mallit, validisuus malleissa ja kehyksissä, modaalisysteemit.

Opintojakson suorittanut opiskelija ymmärtää predikaattilogiikan mallin käsitteen, sekä totuusmääritelmän. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi annetussa mallissa käyttäen tulkintafunktion käsitettä. Hän osaa myös kirjoittaa itse predikaattilogiikan kaavoja, jotka ilmaisevat yksinkertaisia mallien ominaisuuksia. Opiskelija osaa tuottaa luonnollisia päättelyitä valideille predikaattilogiikan lauseille. Hän osaa myös muodostaa kyselyitä sekä predikaattilogiikan kaavoilla että relaatioalgebrassa, ja hän osaa verrata niitä keskenään.Lisäksi hän tuntee modaalilogiikan kielen ja hallitsee Kripke-mallin ja Kripke-kehyksen käsitteet. Hän osaa tutkia, onko annettu kaava tosi/validi annetussa mallissa/kehyksessä, ja hän ymmärtää totuuden ja validisuuden käsitteiden eron. Hän tuntee myös perusmodaalisysteemien aksiomatisoinnit.

<h2>Esitiedot</h2>Joukko-opin perusteet, relaatiot ja funktiot, lauselogiikka, aksioomat ja päättelysysäännöt<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Lauselogiikka, MATH.MA.510, 5op</li></ul>

Opintojaksolla ei ole varsinaista oppikirjaa, vaan se perustuu luentoihin. Suositeltavaa oheismateriaalia on kirjoissa Salminen-Väänänen: Johdatus logiikkaan jaRantala-Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan   sekä monisteessa Rantala-Virtanen: Logiikan peruskurssi.

Derivaatta, väliarvolause, porrasfunktiot, Riemann-integraali, analyysin peruslause.

Opiskelija hallitsee derivaatan määritelmän ja osaa määrittää derivaattoja sekä suoraan määritelmien avulla että eri tekniikoita käyttäen. Hän osaa johtaa ja todistaa derivoituvien funktioiden perusominaisuuksia sekä hallitsee Riemann-integraalin määritelmän ja osaa tutkia Riemann-integroituvuutta yksinkertaisissa tilanteissa. Hän osaa johtaa ja todistaa integroituvuutta koskevat perustulokset sekä tuntee integraalin ja derivaatan välisen yhteyden.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, MATH.MA.420, 5op</li></ul>

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia Koivisto, P., Analyysi B Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla. Trench, W.F., Introduction to Real Analysis. Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis. Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Ryhmät, renkaat, kunnat, aliryhmät ja ideaalit, homomorfismit, tekijäryhmät ja tekijärenkaat, yhden muuttujan polynomit.

Opintojakson aikana opiskelijan kyky abstraktiin ajatteluun kehittyy niin, että hän hahmottaa abstraktin algebran perusstruktuurit kuten ryhmät, renkaat ja kunnat sekä kykenee tunnistamaan ne eri yhteyksissä. Hän osaa johtaa ja todistaa näitä koskevat keskeiset tulokset. Erityisesti hän osaa hyödyntää sellaisia algebran käsitteitä ja työkaluja kuten aliryhmät ja ideaalit, homomorfismit, tekijäryhmät ja tekijärenkaat sekä yhden muuttujan polynomit.

<h2>Esitiedot</h2>Pakollisiksi esitiedoiksi riittää matematiikan perusopinnot 25 op tai tekniikan puolen matematiikan perusopinnot väh. 25 op. Mikäli opintosuunnitelmaasi kuuluu opintojakso MATH.MA.210 Diskreetti matematiikka se tulee suorittaa ennen Algebran opintojaksoa.<h2>Pakolliset esitiedot</h2><ul><li>Diskreetti matematiikka, MATH.MA.210, 5op</li></ul><h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Lineaarialgebra, MATH.MA.410, 5op</li><li>Johdatus matemaattiseen päättelyyn ja lukuteoriaan, MATH.MA.250, 5op</li><li>Matriisilaskenta, MATH.APP.410, 5op</li></ul>

Opintojakso perustuu luentoihin, mutta oheislukemistona suositellaan teoksia Lauritzen, N., Concrete abstract algebra. Rotman, J., First course in abstract algebra.

Reaaliluvut, lukujoukon pienin yläraja ja suurin alaraja, lukujonon suppeneminen, Bolzano-Weierstrassin lause, raja-arvot ja &amp;#34;epsilon-delta&amp;#34;-tekniikka, funktion jatkuvuus, Bolzanon lause.

Opiskelija osaa määrittää lukujoukon pienimmän ylärajan ja suurimman alarajan yksinkertaisissa tilanteissa, osaa tutkia lukujonojen suppenemista ja perusominaisuuksia, osaa määrittää raja-arvoja ja tutkia jatkuvien funktioiden perusominaisuuksia.Opiskelija pystyy kirjoittamaan yksinkertaisia todistuksia soveltamalla määritelmiä ja perustuloksia ja ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan suullisesti ja kirjallisesti.

<h2>Esitiedot</h2>MATH.MA.110 Johdatus analyysiin tai MATH.APP.111 Analyysin peruskurssi (entinen MATH.APP.110 Insinöörimatematiikan perusteet). Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelman opiskelijoilta ei vaadita esitietoja. <h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysin peruskurssi, MATH.APP.111, 5op</li><li>Johdatus analyysiin, MATH.MA.110, 5op</li></ul>

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia Koivisto, P., Analyysi A Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla. Trench, W.F., Introduction to Real Analysis. Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis. Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Epäoleellinen integraali, lukusarjat, funktiosarjat, potenssisarjat.

Opintojakson jälkeen opiskelija hallitsee epäoleellisen integraalin määrittelyn ja osaa tutkia epäoleellisen integraalin suppenemista, hallitsee sekä reaalilukusarjojen että funktiosarjojen perusmääritelmät ja -ominaisuudet sekä osaa tutkia sarjojen suppenemista ja perusominaisuuksia.

<h2>Suositellut esitiedot</h2><ul><li>Analyysi B: derivaatta ja integraali, MATH.MA.430, 5op</li></ul>

Opintojakso perustuu luentoihin. Oheislukemistona voi halutessaan käyttää esimerkiksi teoksia Koivisto, P., Analyysi C Harjulehto, P., Klén, R., Koskenoja, M., Analyysiä reaaliluvuilla. Trench, W.F., Introduction to Real Analysis. Thomson, B.S., Bruckner, J.B., Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis. Apostol, T.M., Calculus, vol. 1.

Matematiikan aineopintoja, avoin yliopisto-opetus

Laajuus

Hinta

Kampus

Kaupunki

Tiedekunta tai osaamisyksikkö

Opetuksessa käytettävät kielet

Koodi

Koulutusala

Opintojen suorittaminen

Usean muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, 5 op

Euklidiset avaruudet, 5 op

Lineaarialgebra, 5 op

Graafiteoria, 5 op

Matemaattisen tilastotieteen perusteet, 5 op

Lauselogiikka, 5 op

Modaali- ja predikaattilogiikka, 5 op

Analyysi B: derivaatta ja integraali, 5 op

Algebra, 5 op

Analyysi A: raja-arvo ja jatkuvuus, 5 op

Analyysi C: epäoleellinen integraali ja sarjat, 5 op

Yhteystiedot

Hakumenettely

Maksuehto

Anna palautetta!

Viimeksi katsomasi koulutukset

Matematiikan aineopintoja, avoin yliopisto-opetus