|
|
|||||||||||||||||
Opinto-opas 2011-2012
MAT-20451 Fourier'n menetelmät, 4 op
|
Vastuuhenkilö
Lasse Vehmanen
Opetus
| Opetusmuoto | P1 | P2 | P3 | P4 | Kesä | Toteutuskerrat | Luentoajat ja -paikat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Suoritusvaatimukset
Hyväksytysti suoritetut harjoitukset ja tentti.
Osaamistavoitteet
Opintojakson suoritettuaan opiskelija osaa muodostaa jaksolliselle funktiolle Fourier-sarjan, sekä reaalisen että kompleksisen version, ja osaa muuntaa näitä toisikseen. Opiskelija osaa muuntaa jaksollisen funktion ja sen tunnetun Fourier-sarjan toiseksi funktioksi Fourier-sarjoineen käyttäen sallittuja toimenpiteitä. Opiskelija osaa tehdä jaksottomalle funktiolle Fourier-muunnoksen helpohkoissa esimerkkitapauksissa käyttäen Fourier-muunnoksen määritelmää ja perusominaisuuksia. Opiskelija osaa ennustaa toteutuuko Gibbsin ilmiö sarjan ja jatkuvan muunnoksen yhteydessä tietyissä helpohkoissa esimerkkitapauksissa. Osaamistavoitteet saavutettuaan opiskelijalla on edellytykset ymmärtää, mihin edellä kuvattua tarvitaan. Fourier'n sarja on jaksollisen funktion taajuushajotelma ja Fourier'n muunnos on jaksottoman funktion taajuushajotelma. Käytännön tositilanteessa ei kuitenkaan ole noita matemaattisia funktioita ehkä olemassakaan, ei ainakaan käytettävissä, joten tarvitaan keino taajuushajotelman estimoimiseksi funktiosta otettujen näytearvojen perusteella. Keino on nimeltään diskreetti Fourier-muunnos. Sen laskemiseksi käytännössä riittävän nopeasti tarvitaan vielä nopea Fourier-muunnos, jonka keksiminen 1960-luvulla mullisti signaalinkäsittelyn ja on ollut sovelletun matematiikan kauaskantoisin algoritmi. Taajuushajotelma on tärkeä siksi, että sen kanssa on mahdollisuus suodattaa pois ei-toivotut taajuudet. Kaikesta muodostuu kokonaiskäsitys yhden sovellusesimerkin avulla. Kokonaisuus on kuitenkin liian laaja sisällytettäväksi niihin osaamistavoitteisiin, joiden saavuttamista arvioidaan tenttitehtävien avulla. Näin laajaa ja konkreettista käyttötarkoitusten ketjua voidaan harvoin esittää matematiikan opintojaksoilla.
Sisältö
| Sisältö | Ydinaines | Täydentävä tietämys | Erityistietämys |
| 1. | Fourier'n sarja: jaksolliset funktiot, sarjan kertoimet, erikoistapauksina parilliset ja parittomat funktiot, Gibbsin ilmiö. | Diriclet'n ehdot sarjan voimassaololle, äärellisellä välillä määritellyn funktion täydentäminen jaksolliseksi, jaksollisen syötteen vaste. | |
| 2. | Lineaarisuus-ominaisuus, sarjan derivointi termeittäin. | Sarjan integrointi termeittäin. | |
| 3. | Kompleksiversio. | Kertolaskulause, Parsevalin lause, sarja funktion taajuushajotelmana. | |
| 4. | Fourier'n muunnos jaksottomalle funktiolle: määritelmä ja perusominaisuudet, muunnos taajuushajotelmana. | Diriclet'n ehdot integraaliesityksen voimassaololle, Gibbsin ilmiö, Parsevalin lause, konvoluutio ajassa ja taajuudessa. | |
| 5. | Fourier-muunnoksen eli taajuushajotelman estimointi: diskreetti Fourier-muunnos. | Nopean Fourier-muunnoksen merkitys. | Sovellusesimerkkinä modulointi, suodatus, demodulointi. |
Opintojakson arvostelu
Arvosana määräytyy harjoitusten ja tentin perusteella. Läpipääsyyn vaaditaan vähintään 40% aktiivinen osallistuminen harjoituksiin ja hyväksytysti suoritettu tentti. Hyväksymisraja tentissä on maksimista puolet tai alempi. Tentissä saatuja, hyväksymisrajan ylittäneitä pisteitä voi parantaa harjoituksissa aktiivisesta osallistumisesta etukäteen saaduilla pisteillä eri taulukon mukaan. Ydinaineksen hallitseminen hyvin riittää opintojakson läpäisemiseen arvosanalla 3. Arvosanan 4 saavuttamiseksi on osattava myös täydentävän tietämyksen asioita. Arvosanaa 5 varten on osattava täydentävän tietämyksen asioita hyvin.
Arvosteluasteikko:
Opintojaksolla käytetään numeerista arviointiasteikkoa (1-5)
Oppimateriaali
| Tyyppi | Nimi | Tekijä | ISBN | URL | Painos,saatavuus... | Tenttimateriaali | Kieli |
| Kirja | Advanced Modern Engineering Mathematics | Glyn James | Englanti |
Esitietoketju (Vaatii kirjautumisen POPiin)
Vastaavuudet
| Opintojakso | Vastaa opintojaksoa | Selite |
|
|
|
Tarkempia tietoja toteutuskerroittain
| Toteutus | Kuvaus | Opetusmuodot | Toteutustapa |